Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

171 4.1 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 1 647 Finde eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung. a. f’ + 5f = 1 b. f’ – 4f = 8 c. f’ + 1 _ 2 f = ‒ 2 d. f’ – 1 _ 4 f = 6 648 a. Ermittle die Lösungsmenge der Differentialgleichung y’ + 5 y = 7. b. Berechne die Lösung der Anfangswertaufgabe y’ + 5 y = 7 und y(0) = 10. 649 Ermittle eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung. a. y’ – 2·y = s mit s(t) = t c. y’ – 3·y = s mit s(t) = sin(t) b. y’ – 2·y = s mit s(t) = t + 1 d. y’ – 3·y = s mit s(t) = cos(t) 650 a. Bestimme die Lösungsmenge der Differentialgleichung y’ + 3y = s mit s(x) = 2x. b. Löse die Anfangswertaufgabe y’ + 3y = s mit s(x) = 2x und y(0) = 1. 651 a. Bestimme die Lösungsmenge der Differentialgleichung y’ + 1 _ 2 y = s mit s(x) = sin(x). b. Löse die Anfangswertaufgabe y’ + 1 _ 2 y = s mit s(x) = sin(x) und y(0) = 0. 652 Das Newton’sche Abkühlungsgesetz besagt, dass die momentane Änderungsrate der Temperatur T zu jedem Zeitpunkt t proportional zur Differenz von T und der umgebenden Temperatur T u ist. a. Finde eine Differentialgleichung, die diesen Zusammenhang beschreibt. b. Löse die Differentialgleichung. c. Eine Tasse Kaffee hat eine Temperatur von 80 °C und wird bei 22 °C Raumtemperatur stehen- gelassen. Berechne, wann der Kaffee noch 40 °C warm ist, wenn die Tasse in den ersten 5min um 20° abgekühlt ist. a. Mit T bezeichnen wir die Funktion, die der Zeit t die Temperatur zu dieser Zeit zuordnet. Dann ist die Abnahme T’ proportional zu T – T u , daraus folgt T’ = ‒p·(T – T u ) für eine positive reelle Zahl p. Das Minuszeichen vor p bedeutet, dass die Temperatur zunimmt, wenn die Umgebungstemperatur größer ist, und abnimmt, wenn die Umgebungs- temperatur kleiner als die Temperatur ist. b. Wir schreiben T’ = ‒p·(T – T u ) in der Form T’ + p·T = p·T u und bestimmen zunächst eine Lösung der homogenen Gleichung T’ + p·T = 0. Diese ist die Funktion h mit h(t) = e ‒pt . Anschließend suchen wir eine Stammfunktion g von g’(t) = p·T u ·e pt . Eine solche ist g mit g(t) = T u ·e pt . Daher ist die Funktion f mit f(t) = g(t)·h(t) = T u ·e pt ·e ‒pt = T u eine Lösung der Differentialgleichung T’ = ‒p·(T – T u ). Jede Lösung T ist die Summe f + c·h von f und einem Vielfachen von h, also T(t) = T u + c·e ‒pt mit c * R . c. Wegen T u = 22 °C, T(0) = 80 °C und T(5) = 60 °C ist 80 = 22 + c und 60 = 22 + c·e ‒p5 . Daraus berechnen wir c = 58 und p = ‒ 1 _ 5 ·ln 2 38 _ 58 3 = 0,0846. Die Temperaturfunktion für den Kaffee ist daher T mit T(t) = 22 + 58·e ‒0,0846t . Aus T(t) = 40 erhalten wir t = 13,83. Der Kaffee hat daher nach ca. 14min 40 °C. B B B B B Differential- gleichungen modellieren und lösen A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv