Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

170 Differentialgleichungen Um eine partikuläre Lösung f der linearen Differentialgleichung y’ + a·y = s zu finden, gehen wir wie folgt vor:  Wir berechnen eine Stammfunktion g von g’ mit g’(t) = s(t)·e at .  Wenn uns das gelingt, dann ist die Funktion f mit f(t) = g(t)·e ‒at eine Lösung von y’ + a·y = s. Diese Vorgangsweise nennt man Methode der Variation der Konstanten , weil die Lösung g·h mit h(t) = e ‒at an die Lösung c·h der homogenen Differentialgleichung erinnert. Anstatt mit einer Konstanten c wird h jetzt aber mit einer Funktion g multipliziert. Wir erhalten alle Lösungen einer linearen Differentialgleichung y’ + a·y = s der Ordnung 1 mit konstantem Koeffizienten a, indem wir zu einer partikulären Lösung f beliebige Vielfache der Funktion h mit h(t) = e ‒at addieren. 645 Löse die lineare Differentialgleichung y’ + 2y = 3.  Wir bestimmen zuerst die Lösungsmenge der entsprechenden homogenen Differential- gleichung y’ + 2y = 0. Diese ist die Menge aller Vielfachen c·h der Funktion h mit h(t) = e ‒2t .  Anschließend berechnen wir eine Stammfunktion g von g’(t) = s(t)·e at = 3·e 2t . Eine solche Stammfunktion ist zum Beispiel g mit g(t) = 3 _ 2 e 2t .  Dann ist f mit f(t) = 3 _ 2 e 2t ·e ‒2t = 3 _ 2 eine Lösung von y’ + 2y = 3. Die Lösungsmenge ist {y mit y(t) = 3 _ 2 + c·e ‒2t ‡ c * R }. 646 Löse die Anfangswertaufgabe y’ – 2y = s und y(0) = 1, dabei ist s die Funktion mit s(t) = t 2 .  Wir bestimmen zuerst die Lösungsmenge der entsprechenden homogenen Differentialgleichung y’ ‒ 2y = 0. Diese ist die Menge aller Vielfachen c·h der Funktion h mit h(t) = e 2t .  Anschließend suchen wir eine Stammfunktion g mit g’(t) = t 2 ·e ‒2t . Eine solche finden wir durch partielle Integration und erhalten g mit g(t) = – 2t 2 + 2t + 1 __ 4 ·e ‒2t .  Eine Lösung der Differentialgleichung y’ – 2y = s ist die Funktion f mit f(t) = g(t)·h(t) = ‒ 2t 2 + 2t + 1 __ 4 ·e ‒2t ·e 2t = ‒ 2t 2 + 2t + 1 __ 4 . Die Lösung der Anfangswertaufgabe ist daher die Funktion y mit y(t) = ‒ 2t 2 + 2t + 1 __ 4 + c·e 2t mit c * R und y(0) = 1. Wegen 1 = y(0) = ‒ 1 _ 4 + c, ist c = 5 _ 4 . Daher ist die gesuchte Lösung die Funktion y mit y(t) = ‒ 2t 2 + 2t + 1 __ 4 + 5 _ 4 e 2t . berechnen einer Lösung durch „Variation der Konstanten“ eine Differential- gleichung mit Variation der Konstanten lösen B ggb/mcd/tns y9pw8i eine Anfangs- wertaufgabe mit Variation der Konstanten lösen B mcd/tns ja89t9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv