Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

168 Differentialgleichungen 641 Für die Verzinsung eines Kapitals gilt, dass bei gleichbleibendem Zinssatz das Kapital zu jedem Zeitpunkt proportional zum bereits vorhandenen Kapital wächst. a. Finde eine Differentialgleichung, die diesen Zusammenhang beschreibt. b. Löse die Differentialgleichung allgemein. c. Bestimme, wann sich das Kapital verdoppelt, wenn es sich nach einem Jahr um 4% erhöht hat. 642 Die Weltbevölkerung betrug Ende 2011 rund 7 Mrd. Menschen. Die UNO rechnete mit einem wei- teren Zuwachs von 1% pro Jahr. a. Finde eine Anfangswertaufgabe, deren Lösung dieses Wachstum annähernd beschreibt. b. Löse die Anfangswertaufgabe und prognostiziere die Weltbevölkerung I. im Jahr 2020 und II. im Jahr 2100. c. Beurteile, ob das Modell realistisch ist. 643 Bis zum Zeitpunkt 0 s ist an einer Spule der Induktivität L über einen Ohmschen Widerstand R eine Gleichspannung U 0 ange- legt. Nun wird der Schalter, wie in der Zeichnung dargestellt, geschlossen. Mit u R (t) bezeichnen wir die Spannung am Wider- stand R und mit u L (t) die Spannung an der Spule zur Zeit t. a. Beschreibe die Funktion i, die jeder Zeit t die Stromstärke i(t) an der Spule zu dieser Zeit zuordnet, als Lösung einer Anfangswertaufgabe. b. Löse diese Anfangswertaufgabe. c. Zeichne den Graphen der Funktion i für U 0 = 100V, R = 50 Ω und L = 0,5H. a. Um diese Differentialgleichung zu finden, überlegen wir zuerst, was wir aus der Physik über i wissen: Nach der Maschenregel ist (nach Schließen des Schalters) u R + u L = 0. Es ist u R = i·R und u L = L·i’. Daraus erhalten wir i·R + L·i’ = 0 und somit (weil L ≠ 0 ist) i’ + R _ L ·i = 0. Zur Zeit 0 s fließt der Strom U 0 _ R durch die Spule, also ist i(0) = U 0 _ R . Die Funktion i ist daher die eindeutig bestimmte Lösung der Anfangswertaufgabe y’ + R _ L ·y = 0 und y(0) = U 0 _ R . b. Die Lösung dieser Anfangswertaufgabe ist die Funktion i mit i(t) = i(0)·e ‒ R _ L t . Die Stromstärke an der Spule zur Zeit t ist daher i(t) = U 0 _ R ·e ‒ R _ L t . c. A, B A, B, C t = 0s U 0 R L u R u L Ausschalten einer Gleich- spannung an einer Spule A, B t[s] i[A] 0,4 0 0,8 1,2 1,6 2 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv