Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

167 4.1 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 1 636 Wähle Zahlen a und r so, dass die Lösung der Differentialgleichung y’ + a·y = 0 mit y(0) = r a. monoton wachsend, b. monoton fallend, c. konstant ist. 637 Mit f bezeichnen wir die Lösung der Differentialgleichung y’ + a·y = 0mit f(0) = r. Kreuze an, welche der Antworten richtig sind. A Wenn r positiv ist, dann sind alle Funktionswerte von f positiv. B Wenn a und r positiv sind, dann ist f monoton fallend und lim x ¥ • f(x) = 0. C Wenn a positiv und r negativ ist, dann ist f monoton wachsend. D Wenn a·r > 0 ist, dann ist f monoton fallend. E Wenn r ≠ 0 und lim x ¥ • f(x) = 0 ist, dann kann a nicht negativ sein. F Nur wenn a = 0 ist, ist f die Nullfunktion. 638 Unter günstigen Bedingungen ist zu jedem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate der Anzahl der Viren in einem Körper das 0,3-Fache der Anzahl der vorhandenen Viren. Herr Schneider hat sich soeben mit 5000 Viren infiziert. a. Finde eine Anfangswertaufgabe, deren Lösung das Wachstum der Viren in Herrn Schneiders Körper annähernd beschreibt. b. Löse die Anfangswertaufgabe und berechne, wie viele Viren sich nach 6 Stunden in Herrn Schneiders Körper befinden. c. Überlege, ob das Modell realistisch ist. a. Die Funktion V ordnet der Zahl x die Anzahl V(x) der Viren in Herrn Schneiders Körper nach x Stunden zu. Nach Voraussetzung ist V’ = 0,3·V. Zu Beginn waren es 5000 Viren, also ist V(0) = 5000. Die gesuchte Anfangswertaufgabe ist daher V’ – 0,3V = 0 und V(0) = 5000. b. Die Lösung ist V mit V(x) = 5000e 0,3x . Nach 6 Stunden befinden sich 5000·e 1,8 ≈ 30250 Viren in Herrn Schneiders Körper. c. Das Modell ist nicht realistisch, da Herrn Schneiders Immunsystem die Viren hoffentlich angreift, und deren Wachstum dadurch gebremst wird. 639 In einer Bakterienkultur befinden sich zurzeit 25000 Bakterien. Zu jedem Zeitpunkt ist die momentane Änderungsrate das 0,2-Fache der Anzahl der vorhandenen Bakterien. a. Finde eine Anfangswertaufgabe, deren Lösung das Wachstum der Bakterien in den ersten Stunden annähernd beschreibt. b. Löse die Anfangswertaufgabe und berechne die Anzahl der Bakterien nach 7 Stunden. c. Überlege, ob das Modell realistisch ist. 640 Ein Patient hat soeben eine Tablette mit 2,5g eines Wirkstoffes eingenommen. Zu jedem Zeit- punkt ist die „momentane Abbaurate“ 20% des vorhandenen Wirkstoffes. a. Finde eine Anfangswertaufgabe, deren Lösung den Abbau des Wirkstoffs im Körper des Patienten annähernd beschreibt. b. Löse die Anfangswertaufgabe und berechne die Menge des Wirkstoffes im Körper des Patienten nach 2 Stunden. c. Der Patient hat gleichzeitig mit der Tablette ein Glas Wein getrunken. Der Abbau des Wirk- stoffs verlangsamt sich daher und die momentane Abbaurate ist nur noch 15% des Wirkstof- fes. Untersuche, wie sich die Aufgabe und deren Lösung ändert und vergleiche die beiden Lösungen mithilfe eines Diagramms. A D A, B, C Ausbreitung von Viren berechnen A, B, C A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv