Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

166 Differentialgleichungen Homogene lineare Differentialgleichungen der Ordnung 1 Wir wissen aus dem 3. Jahrgang, dass die Exponentialfunktion f mit f(t) = e ‒ at eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung y’ + a·y = 0 ist. Denn: Für alle reellen Zahlen t ist f’(t) = ‒ a·e ‒at = ‒ a·f(t), also ist f’(t) + a·f(t) = 0. Es sind auch alle Vielfachen c·f von f Lösungen. Gibt es noch andere Lösungen? Nehmen wir an, dass g eine Lösung von y’ + a·y = 0, also g’ = ‒ a·g ist. Weil f keine Nullstellen hat, können wir den Quotienten g _ f bilden und differenzieren: 2 g _ f 3 ’ = g’·f – g·f’ __ f 2 = ‒a·g·f + g·a·f __ f 2 = 0 Weil die Ableitung von g _ f gleich 0 ist, muss g _ f eine konstante Funktion c sein. Daher ist g = c·f, also ein Vielfaches von f. Damit haben wir gezeigt: Für jede reelle Zahl a ist die Lösungsmenge der homogenen linearen Differentialgleichung y’ + a·y = 0 die Menge aller Vielfachen c·f der Exponentialfunktion f mit f(t) = e ‒at . Wie muss c gewählt werden, damit (c·f)(t 0 ) = r ist? Dabei sind r, t 0 reelle Zahlen und t 0 * M. Aus r = (c·f)(t 0 ) = c·e ‒at 0 folgt c = r·e at 0 und (c·f)(t) = r·e at 0 ·e ‒at = r·e ‒a(t – t 0 ) . Daraus folgt: Für jede Zahl t 0 * M und jede reelle Zahl r hat die homogene lineare Anfangswertaufgabe der Ordnung 1 y’ + a·y = 0 und y(t 0 ) = r genau eine Lösung und zwar die Funktion y: R ¥ R mit y(t) = r·e ‒a·(t – t 0 ) . 632 Löse die homogene Anfangswertaufgabe y’ + 3y = 0 und y(1) = 2. Die Lösung y ist ein Vielfaches c·f der Funktion f mit f(t) = e ‒3t und y(1) = 2. Wir wählen c so, dass (c·f)(1) = 2, also c·e ‒3·1 = 2 ist. Somit ist c = 2·e 3 . Die Lösung der Anfangswertaufgabe ist die Funktion y mit y(t) = 2·e 3 ·e ‒3t = 2·e ‒3(t – 1) . 633 Finde eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung y’ + 4y = 0 mit a. y(0) = 10, b. y(0) = ‒2. Skizziere die Graphen der Lösung. 634 Finde eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung y’ – 2y = 0 mit a. y(1) = 1, b. y(2) = 4. 635 a. Bestimme die Lösungsmenge der homogenen linearen Differentialgleichung y’ = 7y. b. Gib jene Lösung an, deren Graph den Punkt (‒ 2 1 4) enthält. Skizziere diesen Graphen. Lösungsmenge einer homo- genen linearen Differential- gleichung der Ordnung 1 Lösung einer homogenen linearen Anfangswert- aufgabe der Ordnung 1 eine homogene Anfangswert- aufgabe lösen B ggb/mcd/tns jm3by4 B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv