Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

165 4.1 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 1 Beispiele  Die Aufgabe „Gegeben ist eine Funktion s: M ¥ R , die eine Stammfunktion S hat. Finde alle differenzierbaren Funktionen f: M ¥ R mit f’ = s.“ ist eine lineare Differentialgleichung der Ordnung 1. Die Lösungsmenge ist die Menge aller Stammfunktionen von s, also {S + c ‡ c * R }. Dabei schreiben wir c sowohl für die Zahl c als auch für die konstante Funktion, die allen Elementen von M die Zahl c zuordnet.  Eine Lösung der Anfangswertaufgabe y’ + a·y = 0 und y(0) = 2 ist die Funktion y mit y(x) = 2·e ‒ax , denn: y’(x) = ‒ a·2·e ‒ax = ‒ a·y(x) und y(0) = 2·e ‒a·0 = 2. 623 Prüfe nach, ob die Funktion f mit f(x) = 4·sin(x) + 2·cos(x) die Lösung der Anfangswertaufgabe f’ – 2·f = s und f(0) = 2 ist, wobei s die Funktion mit s(x) = ‒10·sin(x) ist. Für alle Zahlen x ist f’(x) = 4·cos(x) – 2·sin(x), also ist f’(x) – 2·f(x) = 4·cos(x) – 2·sin(x) – 8·sin(x) – 4·cos(x) = ‒10·sin(x) = s(x) und f(0) = 4·sin(0) + 2·cos(0) = 2. Daher ist die Funktion f eine Lösung dieser Anfangswertaufgabe. 624 Prüfe nach, ob die Funktion y mit y(x) = 1 + x eine Lösung der Anfangswertaufgabe y’ – y = s mit s(x) = ‒ x und y(2) = 3 ist. 625 Prüfe nach, ob die Funktion f mit f(x) = 2sin(x) + cos(x) eine Lösung der Anfangswertaufgabe f’ + 3f = s mit s(x) = 5·(sin(x) + cos(x)) und f( π ) = ‒1 ist. 626 Prüfe nach, ob die Funktion f mit f(x) = x·e ‒x eine Lösung der Anfangswertaufgabe y’ + y = s mit s(x) = e ‒x und f(1) = 1 _ e ist. 627 Kreuze an, welche der Funktionen Lösungen der Differentialgleichung f’ + 4f = 0 sind. Begründe. A g mit g(t) = 4t B h mit h(t) = e ‒4t C k mit k(x) = 2·e ‒4x D m mit m(x) = 0 628 Ordne den gegebenen Differentialgleichungen jeweils eine passende Lösung zu. Begründe. a. y’ – y = s mit s(x) = (2 + 6x)e 4x A y mit y(x) = x·e 4x B y mit y(x) = 2x·e 4x b. y’ – y = s mit s(x) = (3 + 9x)e 4x C y mit y(x) = 3x·e 4x D y mit y(x) = 4x·e 4x 629 Finde eine Störfunktion s so, dass die Funktion f mit f(t) = t 2 + t eine Lösung der Differential- gleichung f’ – f = s ist. 630 Welche der Störfunktionen s passt zur Differentialgleichung y’ + 2y = s, wenn y mit y(t) = t·sin(t) eine Lösung ist. Begründe. A s(t) = sin(t) + cos(t) C s(t) = 2sin(t) + t·cos(t) B s(t) = (2t + 1)·sin(t) + t·cos(t) D s(t) = t·sin(t) + 2cos(t) 631 Kreuze an, welche der Anfangswertaufgaben die Funktion g mit g(x) = 3·e ‒2x als Lösung hat. Begründe. A f’ + 3·f = 0 und f(0) = 2 C f’ + 2·f = 1 und f(0) = 3 B f’ + 2·f = 0 und f(1) = 3·e ‒2 D f’ – 2·f = 0 und f(0) = 3 prüfen, ob eine Funktion Lösung einer Anfangswert- aufgabe ist D tns vn6k6c D D D D C, D A C, D B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv