Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

164 4.1 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 1 Ich lerne lineare Differentialgleichungen der Ordnung 1 mit konstanten Koeffizienten aufzu- stellen und deren Lösungsmenge zu bestimmen. Ich lerne lineare Anfangswertprobleme der Ordnung 1 mit konstantem Koeffizienten zu lösen. Was ist eine lineare Differentialgleichung der Ordnung 1? Ein Stein mit Masse m fällt von einem Bergvorsprung senkrecht durch die Luft nach unten. Mit v bezeichnen wir die Funktion, die jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit v(t) des Steins zu dieser Zeit zuordnet. Die Beschleunigung des Steins zur Zeit t ist dann v’(t). Aus der Mechanik ist bekannt:  Auf den fallenden Stein wirken die Erdanziehungskraft m·g und – entgegengesetzt – die Reibungskraft.  Solange die Geschwindigkeiten klein ist, kann man annehmen, dass die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit, also k·v ist, wobei k eine gewisse Konstante ist.  Die Kraft m·v’, die auf den Stein wirkt, ist die Differenz m·g – k·v der Erdanziehungskraft und der Reibungskraft. Die Funktion v erfüllt also die Bedingung m·v’ + k·v = m·g und die „Anfangsbedingung“ v(0) = 0. Die Aufgabe, daraus die Funktion v zu berechnen, ist ein Beispiel für eine „lineare Differentialglei- chung der Ordnung 1“. Mit M bezeichnen wir immer ein offenes Intervall oder eine offene Halbgerade oder ganz R . Wir nennen die Aufgabe „Gegeben sind eine Zahl a und eine Funktion s: M ¥ R . Beschreibe die Menge aller differenzier- baren Funktionen f: M ¥ R mit f’ + a·f = s.“ eine lineare Differentialgleichung der Ordnung 1 mit konstantem Koeffizienten. („Linear“, weil nur f’ und f, aber nicht Produkte oder Potenzen davon vorkommen; „Ordnung 1“, weil nur die erste Ableitung und keine höheren Ableitungen von f vorkommen; „mit konstantem Koeffizienten“, weil a eine Zahl und keine Funktion ist.) Eine differenzierbare Funktion f: M ¥ R mit f’ + a·f = s heißt Lösung dieser Differentialgleichung. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge der Differentialgleichung. Wir schreiben für diese Aufgabe kurz „(Löse) die Differentialgleichung f’ + a·f = s.“ Statt f kann jedes andere Zeichen verwendet werden, häufig wird y verwendet. Die Zahl a heißt Koeffizient der linearen Differentialgleichung der Ordnung 1, die Funktion s wird Störfunktion genannt. Wenn s die Nullfunktion 0 ist, heißt die Differentialgleichung homogen , sonst inhomogen . Wird nicht die Menge aller Lösungen einer linearen Differentialgleichung der Ordnung 1 gesucht, sondern nur eine Lösung, deren Funktionswert an einer Stelle t 0 gleich einer vorgegebenen Zahl r ist, dann spricht man von einer linearen Anfangswertaufgabe der Ordnung 1 . Wir schreiben dafür kurz „(Löse) die Anfangswertaufgabe f’ + a·f = s und f(t 0 ) = r.“ lineare Differential- gleichung der Ordnung 1 Koeffizient Störfunktion lineare Anfangswert- aufgabe der Ordnung 1 Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv