Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

160 Zusammenfassung: Schließende Statistik Gegeben ist eine Stichprobe aus paarweisen Beobachtungen (x 1 , y 1 ), …, (x n , y n ) der Merkmale X und Y. Gesucht ist eine lineare Funktion f mit f(x) = ax + b, sodass die Summe der Fehlerquadrate ; i = 1 n (f(x i ) – y i ) 2 minimal wird. Diese Zahlen a und b sind Lösungen des linearen Gleichungssystems I) a· ; x i 2 + b· ; x i = ; x i y i II) a· ; x i + b·n = ; y i . Die Lösung dieses Gleichungssystems ist: a = ; x i y i – n _ x _ y __ ; x i 2 – n _ x 2 und b = _ y – a _ x mit _ x = 1 _ n ; x i und _ y = 1 _ n ; y i . Die Funktion f mit f(x) = ax + b nennen wir die lineare Regressionsfunktion und ihren Graphen die Regressionsgerade. Der Stichprobenkorrelationskoeffizient r = ; (x i – _ x)(y i – _ y) ___ 9 ___ _ ; (x i – _ x) 2 · 9 _ ___ ; (y i – _ y) 2 ist ein Maß für den Zusammenhang der zwei Merkmale. Sein Quadrat heißt Bestimmtheitsmaß . Der Zusammenhang ist stark, wenn das Bestimmtheitsmaß nahe bei 1 ist. Um zu n Zahlenpaaren (x i , y i ) die Koeffizienten der quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c zu finden, für die die Summe der Abweichungsquadrate (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist, müssen wir fol- gendes Gleichungssystem lösen: a ; x i 4 + b ; x i 3 + c ; x i 2 = ; x i 2 y i a ; x i 3 + b ; x i 2 + c ; x i = ; x i y i a ; x i 2 + b ; x i + c·n = ; y i Die Funktion f nennen wir dann die quadratische Regressionsfunktion. Um zu n Zahlenpaaren (x i , y i ) die Koeffizienten der kubischen Funktion f mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d zu finden, für die die Summer der Abweichungsquadrate (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist, müssen wir fol- gendes Gleichungssystem lösen: a ; x i 6 + b ; x i 5 + c ; x i 4 + d ; x i 3 = ; x i 3 y i a ; x i 5 + b ; x i 4 + c ; x i 3 + d ; x i 2 = ; x i 2 y i a ; x i 4 + b ; x i 3 + c ; x i 2 + d ; x i = ; x i y i a ; x i 3 + b ; x i 2 + c ; x i + d·n = ; y i Die Funktion f nennen wir dann die kubische Regressionsfunktion. Um zu n Zahlenpaaren (x i , y i ) die Exponentialfunktion f mit f(x) = b·e a·x zu finden, für die die Summe der Abweichungsquadrate (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist, berechnet man a = ; x i ·ln(y i ) – n· _ x· _ ln(y) ___ ; x i 2 – n _ x 2 und ln(b) = _ ln(y) – a· _ x. Die Funktion f nennen wir dann exponentielle Regressionsfunktion . lineare Regression quadratische Regression kubische Regression exponentielle Regression Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv