Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

16 Grundlagen der Stochastik 47 Vor ihrem Auftritt überlegt eine Band, in welcher Reihenfolge sie ihre sechs Songs vorspielen soll. Da jeder der Musiker einer anderen Meinung ist, kommt plötzlich die Frage auf: Wie viele ver- schiedene Reihenfolgen gibt es überhaupt? Berechne die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen. 48 In Supermärkten werden die Einkaufswege der Kundinnen und Kunden genau untersucht. Daher befindet sich zum Beispiel die Obst- und Gemüseabteilung in fast allen Märkten gleich nach dem Eingang. So ist es auch sehr wichtig, in welcher Reihenfolge die anderen Artikelgruppen in einem Supermarkt angeordnet sind, wird doch oft davon ausgegangen, dass die meisten Kundin- nen und Kunden einem vorgegebenen Weg durch den Markt folgen. a. Überlegt zunächst gemeinsam, wie viele Artikelgruppen es in einem Supermarkt gibt. Notiert diese. b. Berechnet, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Artikelgruppen hintereinander anzuordnen. c. Recherchiert im Internet zum Thema Marketing in Supermärkten und vergleicht eure Ergebnisse mit den Verhältnissen in Supermärkten in eurer Nähe. Diskutiert und hinterfragt die Ergebnisse kritisch. Präsentiert eure Erkenntnisse der Klasse. Permutationen mit Wiederholungen Anna hat 3 rote, 5 blaue und 10 weiße Glasperlen von gleicher Größe und Form. Sie fädelt diese auf eine Schnur auf. Dabei gerät sie ins Grübeln, wie viele verschiedene Farb- muster dabei theoretisch möglich sind. Beachte, dass Perlen mit gleicher Farbe nicht voneinan- der unterschieden werden können. Zur Lösung dieses Problems denken wir uns zunächst die roten Perlen mit 1, 2, 3 nummeriert, die blauen Perlen mit 1, 2, 3, 4, 5 und die weißen mit 1, 2, … , 10. Jetzt können wir alle 18 Glasperlen unterscheiden und erhalten somit 18! verschiedene Farbmuster, die wir uns in einer Liste abge- bildet vorstellen. Nun löschen wir die Nummerierung der 3 roten Perlen und greifen ein beliebi- ges Muster aus der Liste heraus: Die- ses eine Muster werden wir in der Lis- te insgesamt 3!-mal finden, denn die 3 roten Perlen dieses Musters können wir auf 3! Arten umordnen und jedes Mal ergibt sich dabei dasselbe Muster, denn die roten Perlen kann man ja jetzt nicht mehr unterscheiden. Folglich reduziert sich die Anzahl der verschiedenen Muster auf 18! _ 3! . Als nächstes löschen wir die Nummerierung der blauen Perlen, worauf jeweils 5! Muster unserer gedachten Liste ununterscheidbar werden. Es gibt jetzt nur noch 18! _ 3!·5! verschiedene Muster. Löschen wir schließlich auch noch die Nummerierung der weißen Kugeln, woraufhin jeweils 10! der Muster ununterscheidbar werden, so erhalten wir für die Anzahl aller möglichen verschiedenen Muster 18! __ 3!·5!·10! = 2450448. Allgemein gilt: Bilden die n Elemente einer Menge g Teilmengen mit n 1 , n 2 , … , n g jeweils nicht unterscheid- baren Elementen (n 1 + n 2 + … + n g = n), dann gibt es n! __ n 1 !·n 2 !·…·n g ! unterscheidbare Anordnungen dieser Elemente. A, B B, C, D 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 Anzahl an Permutationen mit Wiederholung Nu zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv