Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

159 Zusammenfassung Die Grundgesamtheit ist die Menge aller Elemente, über die bei einer statistischen Erhebung etwas ausgesagt werden soll. Das beobachtete Merkmal ist eine Eigenschaft dieser Elemente, die bei der aktuellen Untersuchung von Interesse ist und durch die Zufallsvariabel X dargestellt wird. Eine Stichprobe von X ist das n-Tupel (X 1 , X 2 , …, X n ), wobei die X i unabhängig sind und die gleiche Verteilung wie X besitzen. Ist (X 1 , X 2 , …, X n ) eine Stichprobe von X, so heißen _ X = 1 _ n ; i = 1 n X i und S 2 = 1 _ n – 1 ; i = 1 n (X i – _ X) 2 das Stichprobenmittel und die Stichprobenvarianz. Ist X ~ N( μ ; σ 2 ), so ist _ X ~ N 2 μ ; σ 2 _ n 3 . Bei hinreichend großen Stichproben (n > 25) ist _ X näherungsweise normalverteilt nach N 2 μ ; σ 2 _ n 3 , wobei μ und σ 2 Erwartungswert und Varianz von X bezeichnet. Die erwartungstreuen Schätzfunktionen für den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 einer nor- malverteilten Zufallsvariablen (bzw. der Grundgesamtheit) sind das Stichprobenmittel und die Stichprobenvarianz: μ ≈ _ X = 1 _ n · ; i = 1 n X i σ 2 ≈ S 2 = 1 _ n – 1 · ; i = 1 n (X i – _ X) 2 Dabei bezeichnet (x 1 , x 2 , …, x n ) eine Stichprobe vom Umfang n. Ein Konfidenzintervall ist ein aufgrund einer Stichprobe (X 1 , X 2 , …, X n ) von X berechnetes Inter- vall, das einen unbekannten Parameter der Verteilung von X mit Wahrscheinlichkeit p überdeckt. Das heißt, dass der Parameter mit Wahrscheinlichkeit γ in diesem Intervall liegt. Eine statistische Hypothese ist eine Annahme über die Verteilung oder über spezielle Parameter der Verteilung einer beobachteten Zufallsvariablen. Die Grundannahme, von der ausgegangen wird, heißt Nullhypothese H 0 . Sie wird gegen die Gegenhypothese H 1 getestet. Ein statistischer Test ist eine Vorschrift, die aufgrund der beobachteten Daten zur Annahme oder Verwerfung der Nullhypothese führt. Diese Vorschrift wird mithilfe einer Stichprobenfunktion formuliert. Diese heißt dann Teststatistik oder Prüfgröße . Bei der Durchführung eines solchen Tests können 2 Arten von Fehlern auftreten: Fehler 1. Art: Verwerfung einer richtigen Nullhypothese Fehler 2. Art: Annahme einer falschen Nullhypothese Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art nennt man auch das Signifikanzniveau oder Irrtums- wahrscheinlichkeit des Tests und bezeichnet sie mit α . Die Wahrscheinlichkeit der Annahme einer richtigen Hypothese 1 – α heißt Sicherheit des Tests. Grundgesamt- heit Merkmal Stichprobe Stichproben- mittel Stichproben- varianz erwartungs- treue Schätz- funktionen Konfidenz- intervall statistischer Test Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv