Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

156 Schließende Statistik 599 Ein Biologe beobachtete die Anzahl der Bakterien in einer Kultur zu 5 Zeitpunkten. Zeitpunkt in Stunden (x) 1 2 3 4 5 Anzahl (y) 13 24 39 68 117 a. Berechne mittels Regression die Funktion f mit f(x) = b·e ax , die jedem Zeitpunkt x möglichst gut die Anzahl der Bakterien zu dieser Zeit zuordnet. b. Beurteile die Güte der Regression mithilfe des Standardfehlers. c. Prognostiziere damit die Anzahl der Bakterien zu den Zeitpunkten 6h und 7h. d. Zeichne ein Punktdiagramm und stelle die Regressionsfunktion graphisch dar. Wir zeigen hier einen Lösungsweg ohne Technologieeinsatz. In der Online-Ergänzung zu diesem Buch sind die Lösungen mit Technologie ausführlich erklärt. a. Statt der Zahlenpaare (x i , y i ) betrachten wir die Zahlenpaare (x i , ln(y i )) und berechnen a = ; x i ·ln(y i ) – n· _ x· _ ln(y) ___ ; x i 2 – n _ x 2 und ln(b) = _ ln(y) – a· _ x . Also rechnen wir: n = 5 _ x = 1 _ 5 · 2 1 + 2 + 3 + 4 + 5 3 = 3 _ ln(y) = 1 _ 5 · 2 2,5649 + 3,1781 + 3,6636 + 4,2195 + 4,7622 3 = 3,6777 ; i = 1 5 x i ·ln(y i ) = 1·2,5649 + 2·3,1781 + 3·3,6636 + 4·4,2195 + 5·4,7622) = 60,6009 ; i = 1 5 x i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 = 55 Daher ist a = 60,6009 – 5·3·3,6777 ___ 55 – 5·3 2 = 0,5436 und ln(b) = 3,6777 – 0,5436·3 = 2,0469 b = e 2,0469 = 7,7439. Wir erhalten die exponentielle Regressionsfunktion f mit f(x) = 7,7439·e 0,5436x . b. Der Standardfehler ist e = 9 _____ 1 _ 5 ·1,6016 = 0,566. Die Regression nähert die beobachteten Anzahlen sehr genau an. Die Anzahl der Bakterien weicht durchschnittlich nur um 0,566 ab. c. f(6) = 202,04 f(7) = 347,96 Es werden nach 6 Stunden ca. 200 Bakterien und nach 7 Stunden ca. 350 Bakterien sein. d. eine exponentielle Regressions- funktion ermitteln A, B, C ggb/xls/mcd/tns qk9dm3 x i y i ln(y i ) 1 13 2,5649 2 24 3,1781 3 39 3,6636 4 68 4,2195 5 117 4,7622 x i y i f(x i ) (f(x i ) – y i ) 2 1 13 13,3362 0,1130 2 24 22,9675 1,0661 3 39 39,5545 0,3075 4 68 68,1206 0,0145 5 117 117,3170 0,1005 Summe: 1,6016 t in h Anz. der Bakterien 0 30 60 90 120 5 4 3 2 1 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv