Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

155 3.4 Regression und Korrelation 596 Der Kostenverlauf eines Produktionsbetriebs ist durch folgende bekannte Werte gegeben: Produktionsmenge (x i ) in ME 2 5 7 9 10 Kosten (y i ) in GE 30 45 55 70 80 a. Nähere diesen Zusammenhang durch eine quadratische Kostenfunktion an. b. Nähere diesen Zusammenhang durch eine kubische Kostenfunktion an. c. Argumentiere mithilfe der Standardfehler, welche der beiden Kostenfunktionen die bessere Annäherung an die tatsächlichen Kosten ergibt. d. Berechne die voraussichtlichen Kosten für 12ME. 597 Die Firma Holzklang fertigt Gitarren an. Bei unterschiedlichen Auftragslagen entstanden in der Vergangenheit die folgenden monatlichen Produktionskosten: Anzahl der Gitarren 20 50 100 140 160 200 Kosten in € 6000 10000 12500 17000 20000 30000 a. Ermittle mithilfe der Regressionsrechnung eine quadratische Kostenfunktion für die Gitarren- produktion. Gib an, ob es sich um einen progressiven oder degressiven Kostenverlauf handelt. b. Ermittle mithilfe der Regressionsrechnung eine kubische Kostenfunktion. c. Stelle die quadratische und die kubische Kostenfunktion mit den gegebenen Wertepaaren in einem Koordinatensystem dar. Entscheide, welche der beiden Funktionen den tatsächlichen Kostenverlauf besser wiedergibt. d. Die Firma erhält einen Auftrag über 250 Stück. Berechne die dadurch entstehenden Kosten. 598 Ein Marktforschungsinstitut ermittelt, wie hoch bei einem bestimmten Verkaufspreis die Nach- frage nach einem neuen Smartphone ist. Preis p in EURO 160 350 500 600 Nachfrage N(p) in Stück 14000 11 000 6000 2000 a. Ermittle mittels quadratischer Regression die Nachfragefunktion N, die jedem Preis p die dar- aus resultierende Nachfrage N(p) zuordnet. b. Ermittle mit der in Aufgabe a. erhaltenen Nachfragefunktion, ab welchem Verkaufspreis die Nachfrage nach dem Smartphone verschwindet. Exponentielle Regression Wir können die Formeln zur Berechnung der linearen Regressionskoeffizienten a und b in man- chen Fällen auch dann verwenden, wenn die beiden betrachteten Merkmale in einer nicht linea- ren Beziehung zueinander stehen. Das wichtigste Beispiel dafür ist eine exponentielle Abhängigkeit, wie sie etwa bei Wachstums- prozessen häufig auftritt. Vermutet man für eine Stichprobe mit den Werten (x i , y i ) einen expo- nentiellen Zusammenhang f mit f(x) = b·e a·x , so erhält man durch Logarithmieren die dazu äquivalente Form ln(f(x)) = ln(b) + a·x = a·x + ln(b). Betrachten wir statt der Zahlenpaare (x i , y i ) die Zahlenpaare (x i , ln(y i )), so können wir eine lineare Regression durchführen. Um zu n Zahlenpaaren (x i , y i ) die Exponentialfunktion f mit f(x) = b·e a·x zu finden, für die die Summe der Abweichungsquadrate (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist, berechnen wir a = ; x i ·ln(y i ) – n· _ x· _ ln(y) ___ ; x i 2 – n· _ x 2 und ln(b) = _ ln(y) – a· _ x . Die Funktion f heißt dann exponentielle Regressionsfunktion. A, B, D A, B, C A, B exponentielle Regression Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv