Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

154 Schließende Statistik Da alle Summen, die für die kubische Regression benötigt werden, auch für die quadratische Regression benötigt werden, erstellen wir zunächst die Tabelle für die kubische Regression. x i y i x i 6 x i 5 x i 4 x i 3 x i 2 x i 3 y i x i 2 y i x i y i 2 8 64 32 16 8 4 64 32 16 4 11,2 4096 1 024 256 64 16 716,8 179,2 44,8 6 14,4 46656 7776 1 296 216 36 3110,4 518,4 86,4 8 22,4 262144 32768 4096 512 64 11 468,8 1 433,6 179,2 10 34 1 000000 100000 10000 1 000 100 34000 3400 340 Summe: 30 90 1 312960 141 600 15664 1 800 220 49360 5563,2 666,4 a. Das Gleichungssystem a·15664 + b·1 800 + c·220 = 5563,2 a·1 800 + b·220 + c·30 = 666,4 a·220 + b·30 + c·5 = 90 hat die Lösung a = 0,3857, b = ‒1,4686, c = 9,84. Somit ist die quadratische Kostenfunktion K q mit K q (x) = 0,3857x 2 – 1,4686x + 9,84. b. Das Gleichungssystem a·1 312960 + b·141 600 + c·15664 + d·1 800 = 49360 a·141 600 + b·15664 + c·1 800 + d·220 = 5563,2 a·15664 + b·1 800 + c·220 + d·30 = 666,4 a·1 800 + b·220 + c·30 + d·5 = 90 hat die Lösung a = 0,0375, b = ‒ 0,2893, c = 2,0714, d = 4,8. Die kubische Kostenfunktion ist also K k mit K k (x) = 0,0375x 3 – 0,2893x 2 + 2,0714x + 4,8. c. Wir benutzen zur Berechnung die folgende Tabelle: quadratische Regression kubische Regression x i y i K(x i ) (K(x i ) – y i ) 2 K(x i ) (K(x i ) – y i ) 2 2 8 8,4456 0,1986 8,0856 0,0073 4 11,2 10,1368 1,1304 10,8568 0,1178 6 14,4 14,9136 0,2638 14,9136 0,2638 8 22,4 22,776 0,1414 22,056 0,1183 10 34 33,724 0,0762 34,084 0,0071 Summe: 1,8103 Summe: 0,5143 Wir erkennen schon an der kleineren Summe der Fehlerquadrate, dass in diesem Fall die kubische Regression näher an die tatsächlichen Werte herankommt. Die Standardfehler sind e q = 9 ________ 1 _ 5 ; i = 1 5 (K(x i ) – y i ) 2 = 9 ___ 1,8103 _ 5 = 0,602 und e k = 9 ________ 1 _ 5 ; i = 1 5 (K(x i ) – y i ) 2 = 9 ___ 0,5143 _ 5 = 0,321. d. Die Kosten von 11 ME betragen laut quadratischer Regression K q (11) = 40,36GE und laut kubischer Regression K k (11) = 42,49GE. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv