Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

153 3.4 Regression und Korrelation Quadratische und kubische Regression Oft ist der Zusammenhang zweier Merkmale nicht durch eine lineare Funktion darstellbar. Die Lichtstärke nimmt etwa mit dem Quadrat der Entfernung ab, der Bremsweg eines Fahrzeugs wächst mit dem Quadrat der Ausgangsgeschwindigkeit und auch Kostenfunktionen sind oft Polynomfunktionen mit Grad 3. Ist dieser Zusammenhang durch zufällige Einflüsse gestört, so besteht das statistische Problem darin, aus einer Stichprobe von n Beobachtungspaaren (x i , y i ) den systematischen Zusammen- hang der Merkmale durch eine quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c oder eine kubische Funktion f mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d möglichst gut zu ermitteln. Zur Berechnung verwenden wir wieder die Methode der kleinsten Quadrate, das heißt, wir suchen nach einer quadratischen oder kubischen Funktion f so, dass der Abstand von (y 1 , …, y n ) zu (f(x 1 ), …, f(x n )) möglichst klein ist, also die Summe der Abweichungsquadrate (f(x i ) – y i ) 2 mög- lichst klein ist. Das führt in diesen beiden Fällen auf ein lineares Gleichungssystem mit 3 bzw. 4 Unbekannten. Um zu n Zahlenpaaren (x i , y i ) die Koeffizienten der quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c zu finden, für die die Summe der Abweichungsquadrate (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist, müssen wir folgendes Gleichungssystem lösen: a ; x i 4 + b ; x i 3 + c ; x i 2 = ; x i 2 y i a ; x i 3 + b ; x i 2 + c ; x i = ; x i y i a ; x i 2 + b ; x i + c·n = ; y i Die Funktion f nennen wir dann die quadratische Regressionsfunktion. Um zu n Zahlenpaaren (x i , y i ) die Koeffizienten der kubischen Funktion f mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d zu finden, für die die Summer der Abweichungsquadrate (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist, müssen wir fol- gendes Gleichungssystem lösen: a ; x i 6 + b ; x i 5 + c ; x i 4 + d ; x i 3 = ; x i 3 y i a ; x i 5 + b ; x i 4 + c ; x i 3 + d ; x i 2 = ; x i 2 y i a ; x i 4 + b ; x i 3 + c ; x i 2 + d ; x i = ; x i y i a ; x i 3 + b ; x i 2 + c ; x i + d·n = ; y i Die Funktion f nennen wir dann die kubische Regressionsfunktion. 595 Einem Betrieb entstanden in der Vergangenheit folgende Kosten: Produktionsmenge (x i ) in ME 2 4 6 8 10 Kosten (y i ) in GE 8 11,2 14,4 22,4 34 a. Nähere den Zusammenhang zwischen Produktionsmenge in ME und Kosten in GE durch eine quadratische Kostenfunktion an. b. Nähere diesen Zusammenhang durch eine kubische Kostenfunktion an. c. Argumentiere mithilfe der Standardfehler, welche der beiden Kostenfunktionen diesen Zusammenhang besser beschreibt. d. Berechne die voraussichtlichen Kosten für die Produktion von 11 ME. Wir zeigen hier einen Lösungsweg ohne Technologieeinsatz. In der Online-Ergänzung zu diesem Buch sind die Lösungen mit Technologie ausführlich erklärt. quadratische Regression kubische Regression eine quadra- tische und kubische Regressions- funktion ermitteln A, B, D ggb/xls/mcd/tns 8ba5qe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv