Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

151 3.4 Regression und Korrelation Standardfehler Um die Frage nach der durchschnittlichen Abweichung von der Regressionsgeraden zu beant- worten, berechnen wir den Standardfehler . Für die lineare Regressionsfunktion f mit f(x) = ax + b ist der Standardfehler der Regressions- geraden e = 9 __________ 1 _ n · ; i = 1 n ((ax i + b) – y i ) 2 bzw. e = 9 ________ 1 _ n · ; i = 1 n (f(x i ) – y i ) 2 . Er ist ungefähr der Mittelwert der Beträge der vertikalen Abstände der Beobachtungspunkte (x i , y i ) von der Regressionsgeraden. 590 Die folgende Stichprobe enthält die Körpergröße (in cm) von Vätern (X) und ihren Söhnen (Y): x i : 169 174 161 168 169 173 178 171 177 185 y i : 171 173 167 165 169 172 175 179 184 176 Untersuche, ob es einen linearen Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen gibt. Gehe dabei folgendermaßen vor: a. Berechne die lineare Regressionsfunktion. b. Ermittle den Korrelationskoeffizienten. c. Bestimme den Standardfehler. d. Zeichne ein Punktdiagramm für die Stichprobe sowie die Regressionsgerade in das gleiche Diagramm und interpretiere deine Ergebnisse. a. Mithilfe von Technologieeinsatz ermitteln wir für den linearen Zusammenhang zwischen der Größe der Väter (x i ) und der Größe der Söhne (y i ) die lineare Regressionsfunktion f mit f(x) = 0,55x + 77,86. b. Mit Technologieeinsatz ermitteln wir den Korrelationskoeffizienten r = 0,638. c. Für die Berechnung des Standardfehlers benötigen wir die Summe der Fehlerquadrate. Wir erstellen eine Tabelle: x i y i f(x i ) = 0,55x i + 77,86 Fehlerquadrate (f(x i ) – y i ) 2 169 171 0,55·169 + 77,86 = 170,81 (170,81 – 171) 2 = 0,0361 174 173 173,56 0,3136 161 167 166,41 0,3481 168 165 170,26 27,6676 169 169 170,81 3,2761 173 172 173,01 1,0201 178 175 175,76 0,5776 171 179 171,91 50,2681 177 184 175,21 77,2641 185 176 179,61 13,0321 Summe: 173,8035 Der Standardfehler ist also e = 9 ________ 1 _ n · ; i = 1 n (f(x i ) – y i ) 2 = 9 _______ 1 _ 10 ·173,8035 = 4,17. Das bedeutet, dass die Größe der Söhne im Durchschnitt etwa um 4,17cm von dem durch die Regressionsfunktion f mit f(x) = 0,55x + 77,86 berechneten Körpergrößen abweicht. Standardfehler Korrelationsko- effizienten und Standardfehler berechnen A, B, C ggb/xls/mcd/tns ny4a6f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv