Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

149 3.4 Regression und Korrelation Warum? Nicht alle Punkte liegen auf der Regressionsgeraden. Zeichnen wir die zwei Regressions- geraden in ein Diagramm, so sehen wir, dass sie einander im Punkt ( _ x, _ y) der Mittelwerte schnei- den. Der Winkel, den diese zwei Geraden einschließen, wird umso größer, je weiter die Punkte von der Regressionsgeraden entfernt liegen und umso kleiner, je näher die Punkte an der Regressionsgera- den liegen. Wenn alle Punkte auf der Regressionsgera- den lägen, wären die beiden Geraden gleich. Bilden wir das Produkt der beiden Steigungen a 1 ·a 2 = ; x i y i – n _ x _ y __ ; x i 2 – n _ x 2 · ; y i x i – n _ y _ x __ ; y i 2 – n _ y 2 , so erhalten wir das Bestimmtheitsmaß r 2 . Stimmen die Geraden überein, so ist a 2 = 1 _ a 1 und somit r 2 = 1. Tendenziell kann man auch hier sehen: Je stärker der lineare Zusammenhang der beiden Merkmale ist, umso kleiner ist der Winkel zwischen den bei- den Regressionsgeraden. 583 Für das Reisebüro aus Musteraufgabe 577 haben wir aus den neben- stehenden Daten die lineare Regressionsfunktion f mit f(x) = ‒ 0,071x + 106,8 berechnet. a. Ermittle den Korrelationskoeffizienten und das Bestimmtheitsmaß für diese Regressionsfunktion. b. Beurteile, wie stark der lineare Zusammenhang ist. a. Der Korrelationskoeffizient ist r = ; (x i – _ x)(y i – _ y) ___ 9 ___ _ ; (x i – _ x) 2 · 9 _ ___ ; (y i – _ y) 2 , also rechnen wir ; (x i – _ x)(y i – _ y) = (800 – 1 000)(48 – 35,8) + (900 – 1 000)(47 – 35,8) + + (1 000 – 1 000)(34 – 35,8) + (1100 – 1 000)(28 – 35,8) + + (1 200 – 1 000)(22 – 35,8) = ‒7100 ; (x i – _ x) 2 = (800 – 1 000) 2 + (900 – 1 000) 2 + (1 000 – 1 000) 2 + (1100 – 1 000) 2 + + (1 200 – 1 000) 2 = 100000 ; (y i – _ y) 2 = (48 – 35,8) 2 + (47 – 35,8) 2 + (34 – 35,8) 2 + (28 – 35,8) 2 + (22 – 35,8) 2 = 528,8 und erhalten den Korrelationskoeffizienten r = – 7100 ___ 9 __ _ 100000· 9 __ 528,8 = ‒ 0,9764. Das Bestimmtheitsmaß ist r 2 = ‒ 0,9764 2 = 0,9533. b. Der Betrag des Korrelationskoeffizienten ist |r| = 0,9764. Diese Zahl ist sehr nahe bei 1, daher ist der lineare Zusammenhang zwischen dem Preis und der Anzahl der Kundinnen und Kunden sehr stark. 584 Erhebt die Größe und das Gewicht von mindestens 10 Personen. Erstellt mithilfe eines Tabellen- kalkulationsprogramms eine graphische Darstellung der Daten. Berechnet die entsprechende Regressionsgerade und den Korrelationskoeffizienten. Interpretiert euer Ergebnis dahingehend, ob ein linearer Zusammenhang zwischen der Körpergröße und dem Gewicht besteht. Größe in m Gewicht in kg 50 60 70 80 90 100 1,85 1,8 1,9 1,95 1,75 1,7 1,65 1,6 Gewicht = 147,06 ∙ Größe – 182,35 Größe = 0,0068 ∙ Gewicht + 1,24 Gewicht = 100,59 ∙ Größe – 99,68 r 2 = 0,6833 ggb/xls/mcd/tns 686x32 das Bestimmt- heitsmaß und den Korrelati- onskoeffizient bestimmen B, C Preis [€] Anzahl Kund/innen 800 48 900 47 1 000 34 1100 28 1 200 22 A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv