Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

148 Schließende Statistik Man kann zeigen, dass stets ‒1 ª r ª 1 gilt. Je größer der Betrag von r ist, umso mehr nähern sich die Beobachtungspunkte der Regres- sionsgeraden an. Die Zahl r 2 ist daher ein gutes Maß für die Stärke des linearen Zusammenhangs der beiden Merkmale. Das Bestimmtheitsmaß r 2 ist das Quadrat des Korrelationskoeffizienten. Die Messdaten liegen genau dann auf einer Geraden, wenn der Korrelationskoeffizient 1 ist. r = 0,97 r = ‒ 0,52 r = 0,06 Tipp Für Korrelationskoeffizienten | r | > 0,6 gilt der Zusammenhang als stark, für | r | > 0,8 sogar als sehr stark. Wir können dem Bestimmtheitsmaß auch eine geometrische Bedeutung geben. Betrachten wir dazu die folgende Aufgabe: 582 Für 8 Personen werden Körpergewicht (y i ) und Körpergröße (x i ) ermittelt (siehe Tabelle). a. Nimm an, dass ein linearer Zusammenhang Gewicht = a 1 ·Größe + b 1 besteht, und berechne die Zahlen a 1 und b 1 . b. Nimm an, dass ein linearer Zusammenhang Größe = a 2 ·Gewicht + b 2 besteht, und berechne die Zahlen a 2 und b 2 . c. Dokumentiere, was dir auffällt. a. Für den linearen Zusammenhang Gewicht = a 1 ·Größe + b 1 ermitteln wir a 1 = ; x i y i – n _ x _ y __ ; x i 2 – n _ x 2 = 100,59 und b 1 = _ y – a 1 _ x = – 99,68. Näherungsweise ist also Gewicht = 100,59·Größe – 99,68. b. Für den linearen Zusammenhang Größe = a 2 ·Gewicht + b 2 ermitteln wir a 2 = ; y i x i – n _ y _ x __ ; y i 2 – n _ y 2 = 0,0068 und b 2 = _ x – a 2 _ y = 1,24. Näherungsweise ist also Größe = 0,0068·Gewicht + 1,24. c. Wir formen den in Aufgabe b. gefundenen Zusammenhang um zu Gewicht = 147,07·Größe – 182,35 Dieser unterscheidet sich vom Zusammenhang aus Aufgabe a. Eigenschaften des Stichproben- korrelations- koeffizienten Bestimmtheits- maß x y x y x y lineare Regressions- funktionen finden B, C Größe [m] Gewicht [kg] 1,65 64 1,72 68 1,73 79 1,78 85 1,81 75 1,82 92 1,84 85 1,92 90 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv