Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

147 3.4 Regression und Korrelation 580 Beim Zehnkampf der Leichtathletik-WM in Moskau 2013 wurden die Ergebnisse des Speerwurfs und des Stabhoch- sprungs für die ersten 10 Teilnehmer aufgezeichnet. Ein line- arer Zusammenhang zwischen der Weite im Speerwurf und der Höhe im Stabhochsprung wird vermutet. a. Berechne die lineare Regressionsfunktion. b. Gib den Zusammenhang in Worten an. c. Untersuche, ob die Aussage „je weiter jemand einen Speer wirft, desto niedriger springt er im Stabhoch- sprung“ stimmt. d. Zeichne ein Punktdiagramm und stelle auch die Regressionsfunktion graphisch dar. 581 Bei der Aufnahmeprüfung für ein Sportgymnasium werden die Kandidatinnen und Kandidaten sowohl gesundheitlich untersucht als auch einem umfassenden Sporttest unterzogen. Ein Turn- lehrer vermutet, dass die Kandidatinnen und Kandidaten umso besser abschneiden, je kleiner sie sind. Er betrachtet daher die Körpergröße und das Punkteergebnis von 10 Kandidatinnen und Kandidaten. Größe [m] 1,42 1,38 1,52 1,54 1,45 1,42 1,59 1,51 1,55 1,47 Punkte 62 58 65 70 63 65 73 67 68 60 a. Ermittle die lineare Regressionsfunktion. b. Untersuche, ob die Vermutung des Turnlehrers begründet ist. c. Zeichne ein Punktdiagramm und die Regressionsgerade. Korrelation Bei der Bestimmung einer Regressionsgeraden sollte man sich vorher und nachher je eine kriti- sche Frage stellen: Vorher: Ist es überhaupt sinnvoll eine Regressionsgerade zu ermitteln, das heißt besteht ein hin- reichend starker linearer Zusammenhang der Merkmale? Nachher: Wie groß sind die durchschnittlichen Abweichungen von der Regressionsgeraden, die ja den unerklärten Zufallseinflüssen entsprechen? Zur Beantwortung der ersten Frage konstruieren wir ein Maß für den linearen Zusammenhang der Merkmale: Der Stichprobenkorrelationskoeffizient (nach Pearson) r = ; (x i – _ x)(y i – _ y) ___ 9 ____ _ ; (x i – _ x) 2 · 9 _ ___ ; (y i – _ y) 2 ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zweier Merkmale X und Y. Die Zahl ; (x i – _ x)(y i – _ y) bestimmt das Vorzeichen von r. Ist beispielsweise x i größer (bzw. kleiner) als das Mittel _ x und ist y i größer (bzw. kleiner) als das Mittel _ y, dann sind die Abweichungen (x i – _ x) und (y i – _ y) beide positiv (bzw. negativ), und folglich ist ihr Produkt (x i – _ x)(y i – _ y) positiv. In den anderen Fällen, wenn also die Abweichungen (x i – _ x) und (y i – _ y) entgegengesetzte Vorzei- chen haben, ist das Produkt (x i – _ x)(y i – _ y) negativ. Die Zahl r ist also dann positiv, wenn die Sum- me der positiven Produkte (x i – _ x)(y i – _ y) größer ist als die der negativen. Positive Korrelation bedeutet, dass mit wachsenden x-Werten auch die y-Werte tendenziell stei- gen, bei negativer Korrelation nehmen die y-Werte bei wachsenden x-Werten tendenziell ab. A, B, C Name Speer Stabhoch Eaton 64,83 5,20 Schrader 65,67 5,00 Warner 64,67 4,80 Mayer 66,09 5,20 Sintnicolaas 56,75 5,30 Chinin 59,98 5,10 Freimuth 56,21 5,90 Schkurenew 59,46 5,40 Coertzen 69,35 4,50 Suarez 68,61 4,90 A, B, C ggb m39q3v Stichproben- korrelations- koeffizient Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv