Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

14 Grundlagen der Stochastik Die Frage nach der Anzahl der möglichen Anordnungen kann mithilfe der Produktregel der Kom- binatorik beantwortet werden: Es gibt n Möglichkeiten den 1. Platz zu besetzen, (n – 1) Möglich- keiten den 2. Platz zu besetzen, … , und 1 Möglichkeit den letzten Platz zu besetzen. Die Anzahl der Permutationen von n unterschiedlichen Elementen ist n·(n – 1)·…·2·1. Um diese Zahl kurz anzuschreiben, führen wir dafür eine eigene Bezeichnung und ein Symbol ein: Ist n eine positive ganze Zahl, dann sagen wir n-Fakultät und schreiben kurz n! für das Produkt n! = n·(n – 1)·…·2·1. Es erweist sich als vorteilhaft 0! = 1 zu definieren. Tipp Auf den meisten Taschenrechnern gibt es für die Berechnung von n! eine Taste. 32 Bei einem Pferderennen kann auf die Reihenfolge des Zieleinlaufs der 8 teilnehmenden Pferde gewettet werden. Berechne die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihenfolgen. Es handelt sich um eine Permutation von 8 unterschiedlichen Elementen. Die gesuchte Anzahl ist daher 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320. 33 Bei einer Quizsendung wird zu Beginn die Reihenfolge, in der die drei Kandidaten A, B, C befragt werden, ausgelost. Berechne, wie viele verschiedene Reihenfolgen theoretisch möglich sind. Schreibe alle Möglichkeiten auf. 34 Schreibe sämtliche Permutationen der Buchstaben des Wortes ROT auf. 35 Schreibe sämtliche Permutationen der Buchstaben des Wortes ART auf. 36 In einem Klassenzimmer gibt es 24 Sitzplätze für 18 Schülerinnen und Schüler. a. Berechne, wie viele unterschiedliche Sitzpläne sich für diese Klasse erstellen lassen. b. Angenommen, man druckt jeden dieser Sitzpläne auf ein Blatt Papier mit einer Dicke von 0,1mm. Wie hoch wäre dann der Papierstapel? Wähle eine geeignete Längeneinheit. a. 1. Schüler/in: 24 Sitzplätze zur Wahl 2. Schüler/in: 23 Sitzplätze zur Wahl 18. Schüler/in: 7 Sitzplätze zur Wahl Die Anzahl der möglichen Sitzpläne ist 24·23·…·7. Am Taschenrechner geben wir 24! _ 6! ein, denn 24·23·…·7 = 24·23· … ·7·(6·5·4·3·2·1) ____ 6·5·4·3·2·1 = 24! _ 6! = 861733891 296165888000 ≈ 8,62·10 20 . b. 8,62·10 20 ·0,1mm = 8,62·10 19 mm = 8,62·10 13 km Für diese Strecke würde ein Lichtstrahl 8,62·10 13 km __ 3·10 5 km/s = 2,87·10 8 s benötigen. Da ein Jahr ca. 365·24·60·60 ≈ 3·10 7 Sekunden hat, entspricht das einer Strecke von ca. 9,6 Lichtjahren. Anzahl an Permutationen n-Fakultät tns 5g79k7 ggb/xls/mcd/tns a575gq Anzahl an Permutationen berechnen A, B A, B A A ggb/xls/tns/mcd 2tx36e Anzahl an Permutationen berechnen A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv