Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

138 Schließende Statistik Der Chi-Quadrat-Test Die bisher beschriebenen Testverfahren waren Parametertests, das heißt, die Hypothesen haben sich auf einen Parameter einer angenommenen Verteilung bezogen. Wir werden nun einen Anpassungstest betrachten. Hierbei soll untersucht werden, ob die beob- achteten Daten einer bestimmten Verteilung entsprechen. Der Chi-Quadrat-Test ist für diese Problemstellung besonders dann geeignet, wenn das beobach- tete Merkmal diskret und die Wertemenge nicht zu umfangreich ist. Der Wertebereich einer Zufallsvariablen X mit unbekannter Verteilung ist M x = {x 1 , x 2 , …, x k }. Wir wollen anhand der beobachteten Häufigkeiten in einer Stichprobe testen, ob die Zufallsvari- able gemäß einer vermuteten Wahrscheinlichkeitsverteilung verteilt ist. Die Nullhypothese ist H 0 : P(X = x i ) = p i für i = 1, …, k . In der beobachteten Stichprobe vom Umfang n haben die Werte x i die (absoluten) Häufigkeiten h i . Die Teststatistik ist T = ; i = 1 k (h i – e i ) 2 __ e i , wobei e i die die erwartete Häufigkeit von x i ist, also e i = n·p i . Wir nehmen die Nullhypothese an, wenn T < χ k – 1; 1 – α 2 ist. χ k – 1; 1 – α 2 ist das (1 – α )-Fraktil der Chi-Quadrat-Verteilung mit k – 1 Freiheitsgraden und kann aus der Tabelle entnommen werden. Die Sicherheit dieses Tests ist 1 – α . Dabei ist als Faustregel zu beachten, dass für alle i die Häufigkeit h i > 5 sein sollte. Ist das nicht erfüllt, muss man eventuell unterschiedliche Werte zu Klassen zusammenfassen. 553 Es soll getestet werden, ob ein bestimmter Würfel fair ist (das heißt, ob das Auftreten der 6mög- lichen Augenzahlen einem Laplacemodell entspricht). Dazu wird eine Versuchsreihe von 120 Wür- fen durchgeführt und die folgenden Häufigkeiten festgestellt: Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Häufigkeit 25 17 15 23 24 16 Überprüfe mithilfe des Chi-Quadrat-Tests mit einer Sicherheit von 95%, ob alle Augenzahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Wir können die Nullhypothese so formulieren: H 0 : p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = 1 _ 6 wobei p i die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Augenzahl i für i = 1, …, 6 bezeichnet. Mithilfe einer Tabelle können wir die Berechnung übersichtlicher gestalten: Augenzahl x i Häufigkeit h i vermutete Wahr- scheinlichkeit p i erwartete Häufigkeit e i = n·p i normiertes Abweichungsquadrat (h i – e i ) 2 __ e i 1 25 1 _ 6 20 1,25 2 17 1 _ 6 20 0,45 3 15 1 _ 6 20 1,25 4 23 1 _ 6 20 0,45 5 24 1 _ 6 20 0,8 6 16 1 _ 6 20 0,8 Chi-Quadrat- Test ggb/xls vs784v einen Chi- Quadrat-Test durchführen A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv