Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

136 Schließende Statistik 545 Ein Hersteller für Hundefutter vermutet, dass Hunde, die mit dem von ihm entwickelten Spezial- futter gefüttert wurden, länger leben als Hunde, die ein Vergleichsfutter erhalten haben. Um das zu prüfen, wurden die durchschnittlichen Lebensdauern in Jahren einiger Tiere erhoben. Spezialfutter 7,9 6,5 8,2 9,4 11,8 5,9 8,9 9,2 8,1 Vergleichsfutter 8,4 9,2 8,3 7,2 6,9 10,4 6,9 a. Bestimme die Mittelwerte und die Standardabweichungen der beiden Stichproben. b. Formuliere die Null- und die Gegenhypothese. c. Prüfe mit einer Sicherheit von 95%, ob ein Unterschied in den Lebensdauern vorliegt. Der F-Test Manchmal möchte man bei zwei unabhängigen Stichproben aus Normalverteilungen überprü- fen, ob die Varianzen der zugrundeliegenden Verteilungen gleich sind. Dazu benutzt man die Tat- sache, dass in diesem Fall der Quotient der Stichprobenvarianzen s x 2 _ s y 2 eine F-Verteilung mit n x – 1 und n y – 1 Freiheitsgraden besitzt, deren Fraktile F m; n; p den Tabellen, die in der Online-Ergänzung zu diesem Buch zur Verfügung stehen, entnommen werden können. Es sind X 1 , X 2 , …,X n x und Y 1 , Y 2 , … ,Y n y zwei unabhängige Stichproben normalverteilter Zufalls- variablen X und Y. Wir wollen testen, ob die Standardabweichungen der beiden Verteilungen gleich sind. Dazu berechnen wir die Teststatistik T = s x 2 _ s y 2 . Lauten die Hypothesen H 0 : σ x 2 = σ y 2 gegen H 1 : σ x 2 ≠ σ y 2 , so nehmen wir die Nullhypothese an, wenn F n x – 1; n y – 1; α _ 2 ª T ª F n x – 1; n y – 1; 1 – α _ 2 ist. Die Sicherheit dieses Tests beträgt 1 – α . 546 Die Zeit für die Ausführung eines Programms wird auf zwei verschiedenen Computersystemen gemessen. Die Stichprobengrößen sind: n x = 10, n y = 20, _ x = 104, _ y = 114, s x 2 = 290, s y 2 = 510 Teste mit einer Sicherheit von 95%, ob die beiden Varianzen als gleich angesehen werden können. Wir testen die Hypothesen H 0 : σ x 2 = σ y 2 gegen H 1 : σ x 2 ≠ σ y 2 Die Teststatistik ist T = s x 2 _ s y 2 = 290 _ 510 = 0,569. Aus der Tabelle der F-Verteilung entnehmen wir F 9; 19; 0,05 = 0,339 und F 9; 19; 0,95 = 2,423 Da F 9; 19; 0,05 = 0,339 ª 0,569 ª 2,423 = F 9; 19; 0,95 ist, ist F 9; 19; 0,05 ª T ª F 9; 19; 0,95 und wir nehmen die Nullhypothese an. Das heißt, wir nehmen an, dass die beiden Varianzen gleich sind. 547 Bei einer Produktionsanlage werden an zwei Produktionslinien die Verpackungsmengen gemes- sen und folgende Stichprobengrößen erhoben: n x = 6, n y = 7, _ x = 450,33, _ y = 452,71, s x 2 = 11,47, s y 2 = 8,57 Teste mit einer Sicherheit von 90%, ob die beiden Varianzen als gleich angesehen werden kön- nen, und interpretiere das Ergebnis. A, B, C Material 4q93dg F-Test xls 8zd9k3 einen F-Test durchführen A, B A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv