Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

134 Schließende Statistik Sind die Varianzen der beobachteten Merkmale nicht bekannt und möchte man trotzdem auf gleiche Mittelwerte testen, so ergibt sich ein schwierigeres Problem, das nur näherungsweise gelöst werden kann: Es sind X 1 , …, X n x und Y 1 , …,Y n y zwei unabhängige Stichproben normalverteilter Zufallsvariablen X und Y mit unbekannten Parametern μ x , μ y , σ x 2 und σ y 2 . Wir wollen testen, ob die Erwartungswerte der beiden Zufallsvariablen gleich sind. Dazu berech- nen wir die Teststatistik T = _ X – _ Y _ 9 ____ s x 2 _ n x + s y 2 _ n y . Lauten die Hypothesen H 0 : μ x = μ y gegen H 1 : μ x ≠ μ y , so nehmen wir die Nullhypothese an, wenn | T | < t d;1 – α _ 2 ist, dabei ist d = min(n x – 1, n y – 1). Die näherungsweise Sicherheit dieses Tests ist 1 – α . 538 In einem Supermarkt wird Joghurt von zwei verschiedenen Marken zum gleichen Preis verkauft. Frau Sparsam vermutet, dass nicht beide Hersteller gleich viel in die Becher einfüllen und möch- te diese Vermutung überprüfen. Dafür stellt sie folgende Inhalte in g für eine Stichprobe fest: Marke A 395 398 399 395 399 397 393 393 390 395 Marke B 387 384 381 389 400 397 395 394 396 a. Ermittle zunächst die Mittelwerte und die Standardabweichungen. b. Schreibe die Nullhypothese und die Gegenhypothese auf. c. Prüfe Frau Sparsams Vermutung mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%. a. _ x A = 395,4, s A = 2,91, n A = 10 und _ x B = 391,44, s B = 6,46, n B = 9 b. Die Nullhypothese ist H 0 : μ A = μ B . Die Gegenhypothese ist H 1 : μ A ≠ μ B . c. Die Teststatistik ist T = 395,4 – 391,44 __ 9 ___ __ 2,91 2 _ 10 + 6,46 2 _ 9 = 1,691 und d = min(10 – 1, 9 – 1) = 8. Aus der Tabelle entnehmen wir t 8; 0,975 = 2,306. Da 1,691 < 2,306 ist, ist |T| < t 8; 0,975 , also nehmen wir die Nullhypothese an. Wir konnten also keinen signifikanten Unterschied nachweisen. 539 Zwei Hersteller von Energydrinks stehen in starker Konkurrenz zueinander. Um den Absatz nicht zu schwächen, kann es sich keiner der beiden Hersteller leisten, einen höheren Preis als der andere zu verlangen. Ein Konsument vermutet nun, dass die Hersteller ihre Gewinnspanne maximieren, indem sie an der Füllmenge sparen, ein Hersteller sogar noch mehr als der zweite. Dafür prüft er für jeweils 6 Dosen der Drinks den genauen Inhalt, der jeweils normalverteilt mit σ = 6m ® ist. Hersteller 1 239 255 240 244 238 237 Hersteller 2 232 239 243 230 232 243 a. Ermittle jeweils den Stichprobenmittelwert. b. Gib die Nullhypothese und die Gegenhypothese zur Prüfung der Vermutung an. c. Prüfe auf dem Signifikanzniveau 0,05. Zweistich- probentests mit unbekannten Parametern μ und σ xls/mcd/tns na56tv einen Zweis- tichprobentest durchführen A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv