Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

133 3.3 Testen von Hypothesen Zweistichprobentests Eine klassische statistische Problemstellung ist der Vergleich zweier Merkmale. Setzt man normalverteilte Stichproben voraus, so untersucht man in der Regel, ob unterschiedli- che Erwartungswerte vorliegen. Solche Fragestellungen ergeben sich etwa in der medizinischen Statistik immer wieder. 537 Zwei verschiedene Medikamente sollen den Anteil eines bestimmten Blutbestandteils erhöhen. Zwei unterschiedliche Patientengruppen werden mit jeweils einem dieser Medikamente behan- delt und die Erhöhung festgestellt. Dabei ergeben sich folgende Stichproben: x i : 20,31 21,79 19,95 18,73 23,18 16,84 19,23 21,46 20,61 23,22 17,73 16,09 19,53 22,72 18,37 23,81 20,32 17,75 23,66 20,23 y i : 20,67 22,11 21,18 16,65 23,52 19,06 22,66 17,72 24,20 23,93 21,26 24,61 20,94 18,21 19,89 Es wird angenommen, dass X und Y normalverteilt sind mit X ~ N( μ x ; 2 2 ) bzw. Y ~ N( μ y ; 2,5 2 ). Teste die Nullhypothese H 0 : μ x = μ y gegen die Gegenhypothese H 1 : μ x ≠ μ y mit α = 0,03. Wir haben zwei Stichproben vom Umfang n x = 20 bzw. n y = 15 und berechnen zunächst _ x = 20,31 + 21,79 + … + 20,23 ____ 20 = 20,28 und _ y = 20,67 + 22,11 + … + 19,89 ____ 15 = 21,11. Für einen Vergleich von μ x und μ y betrachten wir die Differenz _ X – _ Y. Bei unabhängigen Stichproben gilt: _ X – _ Y ~ N 2 μ x – μ y ; σ x 2 _ n x + σ y 2 _ n y 3 und damit _ X – _ Y _ 9 ____ σ x 2 _ n x + σ y 2 _ n y ~ N(0; 1), wenn μ x = μ y . Wir berechnen also 20,28 – 21,11 __ 9 __ _ 4 _ 20 + 6,25 _ 15 = –1,06. Da | –1,06 | < u 0,985 = 2,17 ist, nehmen wir die Nullhypothese an. Das heißt, wir konnten keine unterschiedliche Wirkung der Medikamente nachweisen. Wir haben also unser Problem über die Zufallsgröße _ X – _ Y auf einen normalen u-Test zurückge- führt. Daraus ergibt sich folgende allgemeine Formulierung: Es sind X 1 , …, X n x und Y 1 , …,Y n y zwei unabhängige Stichproben normalverteilter Zufallsvariablen X und Y mit bekannten Varianzen σ x 2 , σ y 2 und unbekannten Erwartungswerten μ x , μ y . Wir wollen testen, ob die Erwartungswerte der beiden Zufallsvariablen gleich sind. Dazu berech- nen wir die Teststatistik U = _ X – _ Y _ 9 ____ σ x 2 _ n x + σ y 2 _ n y Lauten die Hypothesen H 0 : μ x = μ y gegen H 1 : μ x > μ y , so nehmen wir die Nullhypothese an, wenn U < u 1 – α ist. Lauten die Hypothesen H 0 : μ x = μ y gegen H 1 : μ x < μ y , so nehmen wir die Nullhypothese an, wenn U > u α ist. Lauten die Hypothesen H 0 : μ x = μ y gegen H 1 : μ x ≠ μ y , so nehmen wir die Nullhypothese an, wenn | U | < u 1 – α _ 2 ist. Die Sicherheit dieser Tests beträgt jeweils 1 – α . xls/mcd/tns be94nc einen Zwei- stichprobentest durchführen A, B Zweistich- probentest mit unbekannten Erwartungs- werten und bekannten Varianzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv