Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

129 3.3 Testen von Hypothesen 523 Die durchschnittliche Verpackungsmenge von Spagettipackungen mit Sollgewicht 500g soll getestet werden. a. Formuliere eine Nullhypothese und eine Gegenhypothese. b. Interpretiere sowohl ein positives als auch ein negatives Testergebnis bei einer Irrtumswahr- scheinlichkeit von 1%. 524 Argumentiere mithilfe einer Skizze, warum es bei einer kleinen Irrtumswahrscheinlichkeit α sel- tener zum Verwerfen der Nullhypothese kommt, als bei einer größeren Irrtumswahrscheinlich- keit α . 525 Untersuche, welche Aussagen für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 10% richtig formuliert sind. A Die Nullhypothese trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% zu. B Die Nullhypothese wird mit einer Sicherheit von 90% verworfen. C Die Gegenhypothese wird mit einer Sicherheit von 90% angenommen. D Die Gegenhypothese wird mit einer Sicherheit von 90% verworfen. Der t-Test Beim u-Test war vorausgesetzt, dass die Varianz des beobachteten Merkmals bekannt ist. Das ist in der Praxis oft nicht realistisch. Die Varianz muss dann aus der Stichprobe mithilfe der Stichpro- benvarianz S 2 geschätzt werden. Ähnlich wie im Kapitel über Konfidenzintervalle erhalten wir eine t-verteilte Teststatistik T = _ X – μ 0 _ S _ 9 _ n . Es gilt: Bei Zutreffen der H 0 : μ = μ 0 ist T nach t n – 1 verteilt. Daraus ergibt sich die allgemeine Form des t-Tests: Es ist X 1 , X 2 , …, X n eine Stichprobe einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit unbekannten Parametern μ und σ . _ X ist der zugehörige Stichprobenmittelwert und S die Standardabweichung der Stichprobe. Wir wollen testen, ob der unbekannte Erwartungswert μ gleich einem vorgegebenen Wert μ 0 ist. Dazu berechnen wir die Teststatistik T = _ X – μ 0 _ S _ 9 _ n . Lauten die Hypothesen H 0 : μ = μ 0 gegen H 1 : μ ≠ μ 0 , so nehmen wir die Nullhypothese an, wenn | T | < t n – 1;1 – α _ 2 ist. Lauten die Hypothesen H 0 : μ = μ 0 gegen H 1 : μ < μ 0 , so nehmen wir die Nullhypothese an, wenn T > t n – 1; α ist. Lauten die Hypothesen H 0 : μ = μ 0 gegen H 1 : μ > μ 0 , so nehmen wir die Nullhypothese an, wenn T < t n – 1;1 – α ist. Dabei sind die Zahlen t n – 1;1 – α _ 2 , t n – 1; α und t n – 1;1 – α die entsprechenden Fraktile der t-Verteilung mit n – 1 Freiheitsgraden. Die Sicherheit dieser Tests beträgt jeweils 1 – α . A, C D C, D t-Test Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv