Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

126 Schließende Statistik 516 Der Durchmesser von Schrauben soll 6,5mm betragen. Aus Erfahrung ist bekannt, dass die Durchmesser eine Standardabweichung von 0,1mm haben. a. Prüfe mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% für eine Stichprobe von 10 Schrauben, die einen Mittelwert von 6,45mm ergab, ob diese den Anforderungen entsprechen. b. Prüfe mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% für eine Stichprobe von 20 Schrauben, die einen Mittelwert von 6,46mm ergab, ob diese den Anforderungen entsprechen. c. Vergleiche die Ergebnisse aus Aufgabe a. und b. und begründe die Unterschiede. Der einseitige u-Test Eine Konsumentenschützerin vermutet, dass Kaffeepackungen, die eine bestimmte Firma produ- ziert, im Mittel nicht die behaupteten 500g enthalten, sondern weniger. Wenn sie jetzt einen Test durchführt, um der Firma ihre Schuld zu „beweisen“ wird sie die Hypothesen so formulieren: H 0 : μ = 500g gegen H 1 : μ < 500g Packungen, die größeres Gewicht haben, würden die Konsumenten ja nicht stören. Wir können daher Problemstellungen auch „einseitig“ formulieren: H 0 : μ = μ 0 gegen H 1 : μ < μ 0 Das führt auf einen einseitigen Test, bei dem wir die H 0 nur bei zu kleinen Stichprobenwerten verwerfen. Es ist X 1 , …, X n eine Stichprobe einer Normalverteilung mit bekannter Standardabweichung σ und unbekanntem Erwartungswert μ . _ X ist der zugehörige Stichprobenmittelwert. Wir wollen testen, ob der unbekannte Erwartungswert μ gleich einem vorgegebenen Wert μ 0 ist. Wir betrachten die Teststatistik U = _ X – μ 0 _ σ _ 9 _ n Lauten die Hypothesen H 0 : μ = μ 0 gegen H 1 : μ < μ 0 , so nehmen wir die Nullhypothese an, wenn U > u α ist. u α und u 1 – α sind die entsprechenden Fraktile der Standardnormalverteilung. Lauten die Hypothesen H 0 : μ = μ 0 gegen H 1 : μ > μ 0 , so nehmen wir die Nullhypothese an, wenn U < u 1 – α ist. Die Sicherheit dieser Tests beträgt jeweils 1 – α . A, B, C, D einseitiger u-Test x f(x) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 Ablehnung p 1 = 0,05 Annahme p = 0,95 u 0,05 ó = 0,05 x f(x) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 Ablehnung p 1 = 0,05 Annahme p = 0,95 u 0,05 ó = 0,05 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv