Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

125 3.3 Testen von Hypothesen 511 Die Standardabweichung bei der Produktion von handgeschöpfter Schokolade beträgt 5g. Eine Stichprobe von 10 Tafeln Schokolade ergibt einen Stichprobenmittelwert von a. 98g, b. 104g. Entscheide mithilfe des u-Tests, ob die auf der Tafel angegebene Füllmenge von 100g eingehal- ten wurde. Rechne mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05. a. Es ist σ = 5, n = 10, _ x = 98, μ 0 = 100 und α = 0,05. Wir testen die Hypothesen H 0 : μ 0 = 100 gegen H 1 : μ 0 ≠ 100 Die Teststatistik ist U = _ x – μ 0 _ σ _ 9 _ n = 98 – 100 __ 5 _ 9 __ 10 = ‒1,265. Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnehmen wir u 1 – α _ 2 = u 0,975 = 1,96. Da |‒1,265| < 1,96 ist, ist |U| < u 0,975 und wir nehmen die Nullhypothese, dass die angegebene Füllmenge von 100g eingehalten wurde, an. b. Wir wiederholen die Rechnung mit _ x = 104 und erhalten U = _ x – μ 0 _ σ _ 9 _ n = 104 – 100 __ 5 _ 9 __ 10 = 2,530. Da 2,530 > 1,96 ist, ist |U| º u 0,975 und wir lehnen die Nullhypothese ab. Das heißt, wir gehen davon aus, dass die angegebene Füllmenge von 100g nicht eingehalten wurde. 512 Bei der Produktion von Nägeln der Solllänge 40mm soll mithilfe einer Stichprobe geprüft wer- den, ob die Länge der Nägel im Mittel der Solllänge entspricht. Dazu ermittelt man in einer Stichprobe vom Umfang 20 den Mittelwert 39,8mm. Aus langer Erfahrung ist bekannt, dass die Länge der Nägel normalverteilt mit der Standardabweichung 0,2mm ist. a. Formuliere die Nullhypothese und die Gegenhypothese für einen zweiseitigen u-Test. b. Prüfe mit einer Sicherheit von 95%, ob die Länge der Nägel dem Sollwert entspricht. 513 Ein Hersteller für Tiefkühlkost nimmt nur Karotten an, die eine Durchschnittsmasse von 80g haben. Bei einer Stichprobe vom Umfang 25 Stück in einer Lieferung eines Bauern wird ein Mit- telwert für die Masse von 85g festgestellt. Nimm an, dass die Masse normalverteilt ist mit einer bekannten Standardabweichung von 10g. a. Formuliere die Nullhypothese und die Gegenhypothese für einen zweiseitigen u-Test. b. Prüfe mit einer Sicherheit von 99%, ob die Karotten des Bauern angenommen werden können. 514 Für die Produktion von Fischstäbchen werden nur Fischblöcke mit einer Solllänge von 80 cm angenommen. Aus Erfahrung ist bekannt, dass die Länge der Blöcke normalverteilt mit einer Standardabweichung von 0,5 cm ist. Mithilfe einer Stichprobe soll geprüft werden, ob eine Liefe- rung von Fischblöcken den Anforderungen entspricht. Dazu werden 25 Fischblöcke vermessen und der Mittelwert 79,8 cm ermittelt. a. Formuliere die Nullhypothese und die Gegenhypothese für einen zweiseitigen u-Test. b. Prüfe mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%, ob die Länge der Fischblöcke dem Soll- wert entspricht. 515 Ein Autohersteller prüft seine eigene Verbrauchsangabe, die 5,8 ® /100 km ist. Aus Erfahrung weiß der Hersteller, dass der Verbrauch mit einer Standardabweichung von 0,2 ® /100 km schwankt. Bei der Ermittlung des Verbrauchs von 5 verschiedenen Wagen wird nun ein mittlerer Verbrauch von 6 ® /100 km festgestellt. Soll der Hersteller seine Angaben zum Verbrauch überarbeiten? a. Formuliere die Nullhypothese und die Gegenhypothese für einen zweiseitigen u-Test. b. Prüfe auf dem Signifikanzniveau 0,05, ob der Verbrauch der Herstellerangabe entspricht. einen zwei- seitigen u-Test durchführen A, B ggb/xls/mcd/tns zf5a4c A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv