Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

124 Schließende Statistik Der zweiseitige u-Test Ein Konditor möchte überprüfen, ob die von ihm produzierten Schokoladen tatsächlich 100g beinhalten. Wie soll diese Qualitätskontrolle gestaltet werden? Aufgrund der langjährigen Erfahrung ist bekannt, dass diese Füllmenge normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von 5g. Daher ist anzunehmen, dass keine einzige der Schokoladen „exakt“ 100g wiegt. Der Test wird so konzipiert, dass man verlangt, dass zumindest der Mittel- wert aller untersuchten Füllmengen bei 100g liegt. Aus dem Kapitel „Konfidenzintervalle“ wissen wir, dass der Mittelwert einer Stichprobe nicht exakt mit dem Mittelwert der Grundgesamtheit übereinstimmt, sondern normalverteilt ist mit dem Erwartungswert μ (hier 100) und der Stan- dardabweichung σ _ 9 _ n (also 5 _ 9 _ n ). Was können wir daraus schließen, wenn der Stichprobenmittelwert 102g, 99g oder 91 g beträgt? Ist es in diesen Fällen sehr wahrscheinlich, dass der tatsächliche Mittelwert bei 100g liegt? Vorab müssen wir noch festlegen, wie tolerant wir bei den auftretenden Fehlern sein wollen. Wir unterscheiden dabei zwei Arten von Fehlern: Fehler 1. Art: Wir folgern aus der Stichprobe, dass der wahre Mittelwert nicht 100g beträgt und vernichten die gesamte Produktion, obwohl der Mittelwert in Wahrheit doch 100g ist. Fehler 2. Art: Wir schließen aus der Stichprobe, dass der tatsächliche Mittelwert 100g beträgt, obwohl das in Wirklichkeit nicht der Fall ist. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art lässt sich berechnen, da der dazu notwendige Para- meter μ = 100 bekannt ist. Beim Fehler 2. Art ist das nicht möglich, da wir in diesem Fall ja nur wissen, dass μ ≠ 100 ist, aber den genauen Zahlenwert nicht kennen. Es ist X 1 , …, X n eine Stichprobe einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit bekannter Stan- dardabweichung σ und unbekanntem Erwartungswert μ . _ X ist der zugehörige Stichproben- mittelwert. Wir wollen testen, ob der unbekannte Erwartungswert μ gleich einem vorgegebenen Wert μ 0 ist. Wir betrachten die Teststatistik U = _ X – μ 0 _ σ _ 9 _ n . Lauten die Hypothesen H 0 : μ = μ 0 gegen H 1 : μ ≠ μ 0 , dann nehmen wir die Nullhypothese an, wenn u α _ 2 < U < u 1 – α _ 2 bzw. | U | < u 1 – α _ 2 ist. u α _ 2 und u 1 – α _ 2 sind die entsprechenden Fraktile der Standardnormalverteilung. Die Sicherheit des Tests beträgt 1 – α . Wegen der Formulierung der Hypothesen H 0 : μ = μ 0 gegen H 1 : μ ≠ μ 0 , handelt es sich hier um einen zweiseitigen Test . Die Gegenhypothese liegt ja auf beiden Seiten der Nullhypothese. zweiseitiger u-Test x f(x) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 Ablehnung p 1 = 0,025 Ablehnung p 2 = 0,025 Annahme p = 0,95 u 0,025 u 0,975 ó = 0,05 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv