Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

122 Schließende Statistik Eine statistische Hypothese ist eine Annahme über die Verteilung oder über spezielle Parameter der Verteilung einer beobachteten Zufallsvariablen. Die Grundannahme, von der ausgegangen wird, heißt Nullhypothese H 0 . Sie wird gegen die Gegenhypothese H 1 getestet. Ein statistischer Test ist eine Vorschrift, die aufgrund der beobachteten Daten zur Annahme oder Verwerfung der Nullhypothese führt. Diese Vorschrift wird mithilfe einer Stichprobenfunktion for- muliert. Diese heißt dann Teststatistik oder Prüfgröße . Bei der Durchführung eines solchen Tests können zwei Arten von Fehlern auftreten: Fehler 1. Art: Verwerfung einer richtigen Nullhypothese Fehler 2. Art: Annahme einer falschen Nullhypothese Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art nennt man auch das Signifikanzniveau oder Irrtums- wahrscheinlichkeit des Tests und bezeichnet sie mit α . Die Wahrscheinlichkeit der Annahme einer richtigen Hypothese 1 – α heißt Sicherheit des Tests. 504 Philipp vermutet, dass der Würfel, mit dem er gerade beim „Mensch ärgere dich nicht“-Spiel verliert, gezinkt ist. Es kommt ihm so vor, als würde er viel zu selten einen Sechser werfen. Er überlegt sich folgenden Test: Der Würfel wird 60-mal geworfen und dabei wird die Anzahl der Sechser gezählt. Man sollte erwarten, dass sich 1 _ 6 ·60 = 10 Sechser darunter befinden. Sollte die Anzahl der Sech- ser unter 6 ® iegen, so wird sich Philipp von diesem Würfel trennen, da er ihn für gezinkt hält. a. Formuliere die Nullhypothese und die Gegenhypothese, mit der Philipp seine Vermutung überprüfen kann. b. Erkläre, worin in diesem Kontext ein Fehler 1. Art bestehen würde und worin ein Fehler 2. Art. c. Berechne das Signifikanzniveau dieses Tests. d. Philipp führt diesen Test durch und erhält 5 Sechser. Interpretiere das Resultat dieses Tests. a. Zwar vermutet Philipp, dass die Wahrscheinlichkeit eines Sechsers kleiner als 1 _ 6 ist, jedoch wird als Nullhypothese stets von einer eindeutigen Zahl ausgegangen. Daher kann er nicht direkt p < 1 _ 6 überprüfen, sondern muss als Nullhypothese H 0 : p = 1 _ 6 formulieren. Die Gegenhypothese ist gemäß Philipps Verdacht H 1 : p < 1 _ 6 . b. Der Fehler 1. Art ist die Verwerfung einer richtigen Nullhypothese, also hier: Philipp glaubt aufgrund seiner Testvorschrift, dass der Würfel gezinkt ist, obwohl er es nicht ist. Der Fehler 2. Art ist die Annahme einer falschen Nullhypothese, also hier: Philipp glaubt aufgrund seiner Testvorschrift, dass der Würfel korrekt ist, obwohl er gezinkt ist. c. Wenn der Würfel nicht gezinkt ist, so ist p = 1 _ 6 . Die Zufallsvariable X, die die Anzahl der Sech- ser unter 60 Würfen zählt, ist binomialverteilt und die Wahrscheinlichkeit, weniger als 6 Sech- ser zu werfen beträgt P(X < 6) = ; i = 0 5 2 60 i 3 · 2 1 _ 6 3 i · 2 5 _ 6 3 60 – i = 0,0512. Das ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, daher ist das Signifikanzniveau dieses Tests α = 0,0512. d. Da Philipp weniger als 6 Sechser zählt, hält er seinen Würfel für gezinkt. Allerdings könnte der Würfel dennoch in Ordnung sein. Dann hätte er eine falsche Entscheidung getroffen, die allerdings bei 20 Tests eines fairen Würfels im Schnitt nur einmal auftritt. statistische Hypothese Nullhypothese Gegenhypo- these statistischer Test Teststatistik Prüfgröße Fehler 1. Art Fehler 2. Art Irrtumswahr- scheinlichkeit Signifikanz- niveau Sicherheit einen statis- tischen Test durchführen A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv