Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

121 3.3 Testen von Hypothesen Ich lerne das Prinzip eines statistischen Tests kennen und ich lerne sein Ergebnis zu interpre- tieren. Ich lerne Tests kennen, die im Fall einer Stichprobe einer Normalverteilung Hypothesen über den Erwartungswert prüfen. Ich lerne Tests kennen, die im Fall zweier Stichproben einer Normalverteilung Hypothesen über den Erwartungswert bzw. die Varianz prüfen. Ich lerne mithilfe des Chi-Quadrat-Tests zu überprüfen, ob eine Stichprobe einer bestimmten Verteilung entspricht bzw. ob zwei Merkmale voneinander unabhängig sind. Hypothesen und Fehlerwahrscheinlichkeiten Beim Erstellen naturwissenschaftlicher Modelle und in der Statistik werden oft Annahmen getroffen. Diese werden, solange sie noch nicht gesichert sind, als Hypothesen bezeichnet. Man versucht dann aufgrund von speziellen Experimenten ihre Gültigkeit nachzuweisen oder zu widerlegen. Ein Produzent behauptet, dass mindestens 98% seiner Produkte die gewünschten Qualitätsan- forderungen erfüllen. Um die Kosten möglichst gering zu halten, wird nicht jedes einzelne Pro- dukt einer Qualitätsprüfung unterzogen. Wie lässt sich die Behauptung des Produzenten über- prüfen? Zunächst gehen wir von der Annahme aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähl- tes Produkt den Qualitätstest besteht, 98% ist. Wir bezeichnen diese Annahme als Nullhypothese H 0 : p = 0,98. Der Anteil der korrekten Produkte in einer Stichprobe stimmt normalerweise nicht exakt mit dem Anteil in der Grundgesamtheit überein. Daher modellieren wir eine geeignete Stichprobenfunkti- on, die Teststatistik oder Prüfgröße , mit der wir den beobachteten Anteil mit der Nullhypothese vergleichen. Mithilfe dieser Stichprobenfunktion entscheiden wir, ob die Nullhypothese angenommen wird (der Anteil der korrekten Produkte scheint dem angegebenen Wert zu entsprechen), oder ob sie verworfen wird (der Anteil der korrekten Produkte scheint nicht dem angegebenen Wert zu ent- sprechen). Bei der Durchführung eines solchen Tests können zwei Arten von Fehlern auftreten: Fehler 1. Art: Wir schließen aus der Stichprobe, dass der Anteil an korrekten Produkten in der Grundgesamtheit nicht der Angabe des Produzenten entspricht, obwohl er das in Wirklichkeit tut. Wir haben nur zufällig eine „ungünstige“ Stichprobe erwischt. Fehler 2. Art: Wir schließen aus der Stichprobe, dass die Angaben des Produzenten stimmen, obwohl sie das in Wirklichkeit nicht tun. Wir haben nur zufällig eine „günstige“ Stichprobe erwischt. Da man den tatsächlichen Anteil in der Grundgesamtheit nicht kennt, ist es äußerst schwierig, die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art zu berechnen. Daher beschränkt man sich für gewöhnlich auf den Fehler 1. Art. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv