Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

119 3.2 Konfidenzintervalle Bestimmung des Stichprobenumfangs Mithilfe der Konfidenzintervall-Formel kann auch abgeschätzt werden, welcher Stichprobenum- fang nötig ist, um eine gewünschte Aussagengenauigkeit zu erhalten. Dazu kann man die Abschätzung p·(1 – p) ª 1 _ 4 verwenden. Das ist aus dem Graphen der Funktion f mit f(x) = x·(1 – x) im Intervall [0; 1] zu ersehen. Welchen Umfang n muss die Stichprobe bei einer vorgegebenen Zahl a < 1 haben, damit bei einer Überdeckungswahrscheinlichkeit γ das Konfidenzintervall die Form [ˆ p – a; ˆ p + a] besitzt? Aus der Formel für das Konfidenzintervall folgt unmittelbar, dass a = u 1 + γ _ 2 · 9 ____ ˆ p(1 – ˆ p) __ 9 n ist. Da ˆ p·(1 – ˆ p) ª 1 _ 4 ist, folgt daraus a ª u 1 + γ _ 2 · 9 _ 1 _ 4 _ 9 _ n = u 1 + γ _ 2 · 9 __ 1 _ 4n = u 1 + γ _ 2 · 1 _ 2 9 _ n . Wir formen diese Ungleichung nach n um und erhalten 9 _ n ª u 1 + γ _ 2 · 1 _ 2a . Quadrieren liefert schließlich n ª 2 u 1 + γ _ 2 · 1 _ 2a 3 2 . Soll der unbekannten Anteilswert p mit einer Wahrscheinlichkeit von γ im Intervall [ˆ p – a; ˆ p + a] liegen, wobei ˆ p der aufgrund der Stichprobe geschätzte Anteil ist, so benötigt man dazu eine Stichprobe vom Umfang n = 2 u 1 + γ _ 2 · 1 _ 2a 3 2 . a wird als Bandbreite der Ergebnisgenauigkeit bezeichnet. 491 Ermittle, welcher Stichprobenumfang nötig ist, um den Anteil der Brillenträgerinnen und -träger in einer Bevölkerung mit 95% Sicherheit auf ± 2% genau zu schätzen. Der unbekannten Anteilswert p soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% im Intervall [ˆ p – 0,02; ˆ p + 0,02] liegen. n = 2 u 1 + γ _ 2 · 1 _ 2a 3 2 = 2 u 0,975 · 1 _ 0,04 3 2 = 2 1,96· 1 _ 0,04 3 2 = 2401 Die Stichprobe muss also mindestens den Umfang 2401 haben. Ein unbekannter Anteilswert tritt nicht nur bei einer konkreten Gesamtheit, sondern auch bei der Erfolgswahrscheinlichkeit eines Alternativversuchs auf. 492 Gib an, wie viele Versuche nötig sind, um die Wahrscheinlichkeit mit der ein (möglicherweise gezinkter) Würfel auf 6 fällt mit Wahrscheinlichkeit 0,99 auf ±1% genau zu schätzen. Es ist n = 2 u 0,995 · 1 _ 2·0,01 3 2 = 2 2,58· 1 _ 0,02 3 2 = 16641. Es sind also mindestens 16641 Versuche notwendig. 493 Wie viele Personen müssen im Rahmen einer Umfrage befragt werden, damit der Anteil jener, die eine bestimmte Partei wählen, mit 90% Sicherheit auf 5% genau geschätzt werden kann? Bestimme die Anzahl der Personen. x f(x) 0 0,5 1 0,25 Stichproben- größe für eine gewünschte Ergebnis- genauigkeit ggb/mcd 8d8p4b einen Stich- probenumfang ermitteln B die Anzahl an Versuchen bestimmen B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv