Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

117 3.2 Konfidenzintervalle 479 Um den Ertrag einer neuen Weizensorte zu testen, werden 10 Versuchsflächen bestellt und der Ertrag pro Hektar in Tonnen erhoben. 10,42 11,86 8,9 10,28 9,86 11,31 8,57 9,42 11,31 8,36 Berechne zunächst Schätzungen für den Erwartungswert und die Varianz und bestimme dann ein Konfidenzintervall für μ und σ 2 mit Überdeckungswahrscheinlichkeit 0,90. 480 Eine Produktionsanlage für Spanplatten stellt Platten mit einer Soll-Dicke von 22mm her. Bei einer Stichprobe vom Umfang 10 werden ein Mittelwert von 22,1mm und eine Standardabwei- chung von 0,1mm erhoben. a. Berechne ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert mit einer Überdeckungswahrschein- lichkeit von 95%. b. Berechne ein Konfidenzintervall für die Varianz mit Überdeckungswahrscheinlichkeit 95%. 481 Die Urlaubsdauer von Wintersportgästen einer Gemeinde ist normalverteilt. Für eine Stichprobe von 8 Urlaubern werden folgende Urlaubsdauern (in Tagen) vermerkt: 6 12 9 7 4 5 4 13 a. Berechne ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert mit einer Überdeckungswahrschein- lichkeit von 99%. b. Berechne eine Konfidenzintervall für die Varianz mit Überdeckungswahrscheinlichkeit 99%. c. Beurteile kritisch, ob die Normalverteilungsannahme hier gerechtfertigt ist. 482 In einer Brauerei füllt eine Maschine 0,33- ® -Bierdosen ab. Eine Stichprobe der Biermengen in 10 abgefüllten Dosen ergab folgende Werte (in ® ): 0,329 0,339 0,331 0,324 0,328 0,327 0,334 0,336 0,332 0,326 a. Wir nehmen an, dass die Füllmenge normalverteilt ist. Berechne ein 95%-Konfidenzintervall für die Standardabweichung σ . b. Wir nehmen an, dass der Erwartungswert für die Füllmenge μ = 0,33 ® ist und σ im berechne- ten Konfidenzintervall liegt. Ermittle die maximale Wahrscheinlichkeit, dass eine Dose weni- ger als 0,32 ® Bier enthält. Konfidenzintervalle für Anteile Wir kommen jetzt wieder auf das Problem zurück, das wir im Kapitel Schätzungen angeführt haben: Eine Grundgesamtheit enthält eine Gruppe besonderer Elemente, deren Anteil p nicht bekannt ist. Liegt eine Stichprobe vom Umfang n vor, so schätzen wir p mit ˆ P = B _ n , wobei B die Anzahl der Stichprobenelemente ist, die zu der Gruppe der „Besonderen“ gehört. Wir können B auch darstellen durch B = ; i = 1 n X i mit X i = { 1 wenn das i-te Element der Stichprobe ein besonderes ist 0 sonst Aufgrund dieser Darstellung ist der zentrale Grenzwertsatz anwendbar und wir schließen, dass für hinreichend großen Stichprobenumfang (n > 25) B und damit auch ˆ P normalverteilt ist ˆ P ~ N 2 p; p(1 – p) _ n 3 . Will man nun ein Konfidenzintervall für p aufstellen, so können wir die bereits bekannte Formel für Erwartungswerte von Normalverteilungen benutzen und erhalten: Ist p der Anteil einer besonderen Gruppe in einer Gesamtheit und ˆ P der Anteil dieser Gruppe in einer Stichprobe vom Umfang n, so ist 4 ˆ P – u 1 + γ _ 2 · 9 ____ ˆ P(1 – ˆ P) __ 9 _ n ; ˆ P + u 1 + γ _ 2 · 9 ____ ˆ P(1 – ˆ P) __ 9 n 5 ein näherungsweises Konfidenzintervall für p mit Überdeckungswahrscheinlichkeit γ . A, B A, B A, B, D A, B näherungs- weises Konfidenz- intervall für den Anteil p Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv