Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

116 Schließende Statistik Konfidenzintervall für die Varianz einer normalverteilten Zufallsvariablen Auch für die Varianz einer Normalverteilung lässt sich aus einer Stichprobe vom Umfang n ein Konfidenzintervall bestimmen. Dazu benötigt man die so genannte Chi-Quadrat-Verteilung ( χ 2 -Verteilung) mit n – 1 Freiheitsgraden. Die Chi-Quadrat-Verteilung ist nicht symmetrisch. Für unsere Zwecke ist aber nur die Kenntnis ihrer Fraktile wichtig, die der Chi-Quadrat-Tabelle auf Seite 382 zu entnehmen sind. Ist (X 1 , X 2 , …, X n ) eine Stichprobe einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit unbekannter Vari- anz σ 2 , dann ist 4 (n – 1)·S 2 __ χ n – 1; 1+ γ _ 2 2 ; (n – 1)·S 2 __ χ n – 1; 1 – γ _ 2 2 5 ein Konfidenzintervall für σ 2 mit Überdeckungswahrscheinlichkeit γ . Dabei stehen χ n – 1; 1 + γ _ 2 2 für das 1 + γ _ 2 -Fraktil und χ n – 1; 1 – γ _ 2 2 für das 1 – γ _ 2 -Fraktil der χ 2 -Verteilung mit n – 1 Freiheitsgraden. Diese können der Tabelle der χ 2 -Verteilung auf Seite 382 entnommen werden. 476 Bei einer Stichprobe vom Umfang 15 ergab sich eine Stichprobenvarianz von s 2 = 67,17. Berechne ein 95%-Konfidenzintervall für σ 2 und für σ . Wir berechnen zunächst n – 1 = 15 – 1 = 14, 1 + γ _ 2 = 1 + 0,95 _ 2 = 0,975 und 1 – γ _ 2 = 1 – 0,95 _ 2 = 0,025. Anschließend ermitteln wir aus der Tabelle der χ 2 -Fraktile χ n – 1; 1 + γ _ 2 2 = χ 14; 0,975 2 = 26,119 und χ n – 1; 1 – γ _ 2 2 = χ 14; 0,025 2 = 5,629. Das gesuchte Konfidenzintervall für σ 2 ist daher 4 (n – 1)·s 2 __ χ n – 1; 1+ γ _ 2 2 ; (n – 1)·s 2 __ χ n – 1; 1 – γ _ 2 2 5 = 4 14·67,17 __ 26,119 ; 14·67,17 __ 5,629 5 = = [36; 167,06]. Das Konfidenzintervall für σ erhalten wir daraus durch Wurzelziehen: [6; 12,92] Die Varianz liegt mit 95% iger Wahrscheinlichkeit zwischen 36 und 167,03 und die Standard- abweichung zwischen 6 und 12,92. 477 Finde die Fraktile χ n – 1; 1 + γ _ 2 2 und χ n – 1; 1 – γ _ 2 2 der χ 2 -Verteilung zu den vorgegebenen Werten n und γ . a. n = 10, γ = 90% c. n = 35, γ = 99% e. n = 100, γ = 0,8 b. n = 18, γ = 0,95 d. n = 300, γ = 0,99 f. n = 5, γ = 98% 478 Bei einer Stichprobe vom Umfang n ermittelte man eine Stichprobenvarianz s 2 . Berechne jeweils ein Konfidenzintervall für σ 2 und für σ mit einer Überdeckungswahrscheinlichkeit γ . a. n = 15 s 2 = 48 γ = 95% b. n = 20 s 2 = 33,5 γ = 99% c. n = 30 s 2 = 92,7 γ = 90% Konfidenzin- tervall für σ 2 einer normal- verteilten Zufallsvariablen ggb/xls/mcd 4e7w29 ein Konfidenz- intervall für die Varianz berechnen A, B p n 0,01 0,025 0,05 0,1 0,9 0,95 0,975 1 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 2 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 3 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 4 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 5 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,833 6 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 7 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 8 1,646 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 9 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 10 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 11 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 12 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 13 4,107 5,009 5,892 7,042 19,812 22,362 24,736 14 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 15 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 16 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 17 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 18 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 19 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 20 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 21 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv