Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

114 Schließende Statistik 466 In der Online-Ergänzung zu diesem Buch findet ihr eine Tabelle mit 100 Messwerten. Die bekann- te Standardabweichung dieser Messwerte beträgt σ = 15,12. a. Bildet 10 unterschiedliche Stichproben vom Umfang n = 10. Berechnet von jeder dieser Stich- proben den Stichprobenmittelwert und das zugehörige Konfidenzintervall mit der Über- deckungswahrscheinlichkeit 0,6. b. Der tatsächliche Mittelwert der Grundgesamtheit beträgt 44,24. Überprüft, wie viele der in Aufgabe a. berechneten Konfidenzintervalle diesen tatsächlichen Mittelwert enthalten. Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen bei unbekannter Varianz In den meisten Anwendungsfällen ist nicht nur der Erwartungswert, sondern auch die Varianz der beobachteten Größe (bzw. der Grundgesamtheit) unbekannt. Die Varianz muss dann mithilfe der Stichprobenvarianz S 2 = 1 _ n – 1 · ; i = 1 n (X i – _ X) 2 ebenfalls geschätzt werden. Die Berechnung des Konfidenzintervalls für μ verläuft dann beinahe so, als wäre σ bekannt: Zunächst bildet man die Zufallsvariable T = _ X – μ _ s . Diese Zufallsvariable T ist allerdings nicht stan- dard-normalverteilt, sondern gemäß einer sogenannten t-Verteilung . Der Graph ihrer Dichtefunk- tion sieht der Glockenkurve sehr ähnlich, die genauen Eigenschaften dieser t-Verteilung sind für uns aber nicht weiter von Interesse. Wir müssen nur die entsprechenden Fraktilswerte in der Tabelle auf Seite 381 nachschlagen können. Mithilfe der tabellierten Fraktilswerte und der nach- folgenden Formel lässt sich damit das Konfidenzintervall für μ bestimmen. Sind _ X und S 2 der Stichprobenmittelwert und die Stichprobenvarianz einer Stichprobe vom Umfang n einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit unbekannten Parametern μ und σ 2 , so ist 4 _ X – t n – 1; 1 + γ _ 2 · S _ 9 _ n ; _ X + t n – 1; 1 + γ _ 2 · S _ 9 _ n 5 ein Konfidenzintervall für μ mit der Überdeckungswahrscheinlichkeit γ . Dabei steht t n – 1; 1 + γ _ 2 für den 1 + γ _ 2 -Fraktilwert der t-Verteilung mit n – 1 Freiheitsgraden. Diese kön- nen der Tabelle der t-Verteilung auf Seite 381 entnommen werden. Kompakt ausgedrückt: μ liegt mit Wahrscheinlichkeit γ im Bereich 4 _ X ± t n – 1; 1 + γ _ 2 · S _ 9 _ n 5 . 467 Ein Händler erhält eine Lieferung Marillen, die in Obststeigen verpackt sind. Er nimmt eine Stich- probe von 10 Stück und erhält für das Füllgewicht einen Stichprobenmittelwert von 5,08 kg mit einer Standardabweichung von 0,12 kg. Berechne ein Konfidenzintervall für den Mittelwert μ der gesamten Lieferung mit einer Überdeckungswahrscheinlichkeit von 0,95. Wir berechnen zunächst n – 1 = 10 – 1 = 9 und 1 + γ _ 2 = 1 + 0,95 _ 2 = 0,975. Anschließend ermitteln wir aus der Tabelle der t-Fraktile t n – 1; 1 + γ _ 2 = t 9; 0,975 = 2,262. Das gesuchte Konfidenzintervall für μ ist 4 _ X – t n – 1; 1 + γ _ 2 · S _ 9 _ n ; _ X + t n – 1; 1 + γ _ 2 · S _ 9 _ n 5 = = 4 5,08 – 2,262· 0,12 _ 9 __ 10 ; 5,08 + 2,262· 0,12 _ 9 __ 10 5 = [4,994; 5,166]. Die durchschnittliche Füllmenge liegt mit 95%iger Wahr- scheinlichkeit zwischen 4,994 kg und 5,166 kg. Material 9sk8cj B, C Konfidenz- intervall für μ bei unbe- kanntem σ einer normal- verteilten Zufallsvariablen ggb/xls/mcd f6g4f9 ein Konfidenz- intervall für μ bei unbekanntem σ berechnen A, B p n 0,9 0,95 0,975 1 3,078 6,314 12,706 2 1,886 2,920 4,303 3 1,638 2,353 3,182 4 1,533 2,132 2,776 5 1,476 2,015 2,571 6 1,440 1,943 2,447 7 1,415 1,895 2,365 8 1,397 1,860 2,306 9 1,383 1,833 2,262 10 1,372 1,812 2,228 11 1,363 1,796 2,201 12 1,356 1,782 2,179 13 1,350 1,771 2,160 14 1,345 1,761 2,145 15 1,341 1,753 2,131 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv