Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

113 3.2 Konfidenzintervalle 461 Ermittle zunächst ein Konfidenzintervall für den gegebenen Stichprobenmittelwert und unter- suche, ob das Konfidenzintervall den tatsächlichen Mittelwert μ überdeckt. a. _ x = 51 σ = 5 n = 10 γ = 90% μ = 50 b. _ x = 502 σ = 10 n = 25 γ = 95% μ = 500 c. _ x = 15,2 σ = 0,8 n = 16 γ = 80% μ = 15,5 d. _ x = 22,1 σ = 0,3 n = 15 γ = 99% μ = 22 462 Folgende 10 Messwerte werden bei einer bekannten Standardabweichung von 0,3 erhoben. 101,72 101,96 100,28 100,39 100,20 102,03 100,91 100,74 101,54 100,99 a. Bilde zunächst vier verschiedene Stichproben vom Umfang n = 4 und berechne den Mittel- wert der Stichprobe. b. Ermittle die Konfidenzintervalle für die Stichproben aus Aufgabe a. bei einer Überdeckungs- wahrscheinlichkeit von 50%. c. Untersuche, wie viele der Konfidenzintervalle den wahren Mittelwert μ = 100 überdecken. 463 Eine Zufallsvariable ist normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 5. Der Stichprobenmittel- wert ist 60. a. Berechne die linke und die rechte Intervall- grenze des Konfidenzintervalls für μ mit einer Überdeckungswahrscheinlichkeit von 99%, wenn der Stichprobenumfang n bekannt ist. Trage deine Ergebnisse in die Tabelle ein. b. Interpretiere deine Ergebnisse aus Aufgabe a. Was lässt sich über die Breite der Konfidenz- intervalle in Abhängigkeit vom Stichproben- umfang sagen? 464 Eine Zufallsvariable ist normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 5. Bei einer Stichprobe vom Umfang n = 50 ist der Stichprobenmittelwert 60. a. Berechne die linke und die rechte Intervall- grenze des Konfidenzintervalls für μ mit den in der Tabelle angegebenen Werten für die Über- deckungswahrscheinlichkeit γ . Trage deine Ergebnisse in die Tabelle ein. b. Interpretiere deine Ergebnisse aus Aufgabe a. Was lässt sich über die Breite der Konfidenz- intervalle in Abhängigkeit von der Über- deckungswahrscheinlichkeit sagen? 465 Eine Zufallsvariable ist normalverteilt mit der Standardabweichung σ . Bei einer Stichprobe vom Umfang n = 50 ist der Stichprobenmittelwert 60. a. Berechne die linke und die rechte Intervall- grenze des Konfidenzintervalls für μ bei der Überdeckungswahrscheinlichkeit γ = 0,99. Die bekannte Standardabweichung in der Grund- gesamtheit ist dabei σ . Trage deine Ergebnisse in die Tabelle ein. b. Interpretiere deine Ergebnisse aus Aufgabe a. Was lässt sich über die Breite der Konfidenz- intervalle in Abhängigkeit von der Standardabweichung in der Grundgesamtheit sagen? B, C B, C A, B, C n linke Grenze rechte Grenze 1 10 50 100 200 A, B, C γ linke Grenze rechte Grenze 0,5 0,75 0,8 0,9 0,95 A, B, C σ linke Grenze rechte Grenze 10 5 2 1 0,5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv