Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

112 Schließende Statistik 457 Über eine Abfüllanlage für Kies ist bekannt, dass sie mit einer Standardabweichung von 1 kg arbeitet. Bei einer Stichprobe von 10 Packungen Kies wird eine durchschnittliche Füllmenge von 36,8 kg festgestellt. a. Berechne ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ der Füllmenge mit einer Über- deckungswahrscheinlichkeit von I. 90%, II. 95%, III. 99%. b. Vergleiche die in Aufgabe a. erhaltenen Intervalle. Was lässt sich über die Größe der Konfi- denzintervalle aussagen, wenn man die Überdeckungswahrscheinlichkeit vergrößert? 458 Für eine Gemeinde wird die Niederschlagsmengen in mm pro Jahr der letzten 50 Jahre erhoben. Dabei ergibt sich ein Mittelwert von 380mm bei bekannter Standardabweichung von 12mm. Ermittle ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert mit einer Überdeckungswahrscheinlich- keit von 90%. 459 Ein Supermarkt hat an den letzten 100 Verkaufstagen den Gesamtumsatz erhoben. Dabei ergab sich ein Mittelwert von 12315€, bei einer bekannten Standardabweichung von 360€. Überprüfe, welches der Intervalle ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert mit Überdeckungswahr- scheinlichkeit von 95% ist. Begründe. A [11 609; 13021] B [12292; 12338] C [12244; 12386] D [12313; 12317] 460 Bei einer Radarkontrolle wird bei 10 Schnellfahrern eine durchschnittliche Geschwindigkeitsüber- schreitung von 22 km/h bei einer Standardabweichung von 4 km/h erhoben. Ordne der Überde- ckungswahrscheinlichkeit das richtige Konfidenzintervall zu. Begründe. A [19,9;24,1] B [18,7; 25,3] C [20,4; 23,6] D [19,5; 24,5] a. 80% b. 90% c. 95% d. 99% Interpretation des Konfidenzintervalls Am Anfang ist es nicht so einfach zu verstehen, was mit einem Konfidenzintervall zu einer bestimmten Überdeckungswahrscheinlichkeit gemeint ist. Die folgende Grafik soll das veran- schaulichen. Der tatsächliche Mittelwert der Grundgesamtheit μ uns zwar unbekannt, allerdings handelt es sich um eine fix vorgegebene Zahl (in der Grafik durch die rote Linie dargestellt). Jede Stichprobe aus dieser Grundgesamtheit liefert für gewöhnlich einen leicht unterschiedlichen Stichproben- mittelwert _ x 1 , _ x 2 , _ x 3 , …, der mehr oder weniger stark vom tatsächlichen Mittelwert μ abweicht. Die Breite des Konfidenzintervalls wird durch die Überdeckungswahrscheinlichkeit vorgegeben. Je nachdem wie stark der individuelle Stichprobenmittelwert von μ abweicht, liegt μ entweder im Konfidenzintervall oder nicht. Bei einer Überdeckungswahrscheinlichkeit γ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig heraus- gegriffenes Konfidenzintervall den Parameter μ überdeckt, gleich γ . Im hier dargestellten Bei- spiel beträgt die Überdeckungswahrscheinlichkeit 60% und tatsächlich überdecken nur 6 der 10 Intervalle den Mittelwert μ . A, B, C A, B C, D C, D Stichproben Konfidenzintervalle þ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv