Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

111 3.2 Konfidenzintervalle Also ist ‒1,645 ª Z ª 1,645, bzw. ‒1,645 ª _ X – μ _ 0,0333 ª 1,645 |·0,0333 ‒ 0,05478 ª _ X – μ ª 0,05478 | – _ X ‒ 0,05478 – _ X ª ‒ μ ª 0,05478 – _ X |·(‒1) _ X – 0,05478 ª μ ª _ X + 0,05478. Da in unserem Fall _ x = 5,08 kg ist, können wir schließen: Der Mittelwert der gesamten Lieferung liegt mit 90%iger Sicherheit zwischen 5,025 kg und 5,135 kg. Oder anders formuliert: Ermittelt man mit dieser Methode für viele Stichproben zum jeweiligen Stichprobenmittel _ X das Konfidenzintervall für μ , so wird für 90% aller Stichproben der tatsächli- che Mittelwert der Gesamtlieferung im jeweils berechneten Konfidenzintervall liegen. Aus dieser Vorgangsweise ergibt sich für die obige Problemstellung eine allgemeingültige Formel: Ist (X 1 , X 2 , …, X n ) eine Stichprobe einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit bekannter Stan- dardabweichung σ , so ist 4 _ X – σ _ 9 _ n ·u 1 + γ _ 2 ; _ X + σ _ 9 _ n ·u 1 + γ _ 2 5 ein Konfidenzintervall für μ mit Überdeckungswahrscheinlichkeit γ . Das heißt, der Erwartungs- wert μ liegt mit Wahrscheinlichkeit γ in diesem Intervall. Tipp In kompakter Form kann man das Konfidenzintervall auch so schreiben: 4 _ X ± σ _ 9 _ n ·u 1 + γ _ 2 5 . Hier sieht man noch besser, dass der Schätzwert _ X der Mittelpunkt des Intervalls ist. 455 Über eine Abfüllanlage für Haferflocken ist aus Erfahrung bekannt, dass sie mit einer Standard- abweichung von 5g arbeitet. Bei einer Stichprobe von 20 Packungen Haferflocken wird eine durchschnittliche Füllmenge von 998g festgestellt. Berechne ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ der Füllmenge mit einer Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95%. Die Standardabweichung ist σ = 5 und die Stichprobengröße ist n = 20. Also ist die Standardab- weichung des Stichprobenmittels σ _ 9 _ n = 5 _ 9 __ 20 . Die Überdeckungswahrscheinlichkeit γ soll 0,95 betragen, also ist 1 + γ _ 2 = 1,95 _ 2 = 0,975. Aus einer Tabelle der Standardnormalverteilung ermitteln wir u 0,975 = 1,96. Das gesuchte Konfidenzintervall ist also 4 _ x ± σ _ 9 _ n ·u 0,975 5 = 4 998 ± 5 _ 9 __ 20 ·1,96 5 ≈ [998 ± 2,2]. Der Erwartungswert für die Füllmenge liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% im Intervall [995,8; 1 000,2]. 456 Es soll die Durchschnittsgröße sechsjähriger Kinder ermittelt werden. Bei einer Stichprobe von 100 Kindern ergibt sich ein Stichprobenmittelwert von 118 cm. Berechne ein Konfidenzintervall mit einer Überdeckungswahrscheinlichkeit von 90% für die durchschnittliche Körpergröße μ aller sechsjährigen Kinder, wenn man annimmt, dass die Standardabweichung a. 5 cm, b. 10 cm beträgt. Konfidenz- intervall Überdeckungs- wahrscheinlich- keit ein Konfidenz- intervall für den Erwartungswert berechnen A, B ggb/xls/mcd/tns 9q87d2 A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv