Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

110 3.2 Konfidenzintervalle Ich lerne das Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvaria- blen bei bekannter Varianz σ 2 zu bestimmen. Ich lerne das Konfidenzintervall für den Erwartungswert und die Varianz einer normalverteil- ten Zufallsvariablen bei unbekannter Varianz σ 2 zu bestimmen. Ich lerne das Konfidenzintervall für den Anteil einer besonderen Gruppe in einer Grundge- samtheit zu bestimmen. Ich lerne den Stichprobenumfang zu bestimmen, der nötig ist, um einen unbekannten Anteil mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit auf eine gegebene Genauigkeit zu bestimmen. Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen bei bekannter Varianz Die Schätzung von Parametern liefert nur einen Näherungswert, aber keine Aussage über die Genauigkeit dieser Annäherung. Es ist aber natürlich wünschenswert, eine Aussage darüber zu erhalten, wie weit unser Schätzwert vom wahren Wert des Parameters entfernt sein kann. Eine solche Aussage erhalten wir in der Form von Konfidenzintervallen . Betrachten wir noch einmal die Marillen-Lieferung aus der Musteraufgabe 428. Eine Lieferung Marillen ist in Obststeigen verpackt. In einer Stichprobe von 9 Steigen ist das durchschnittliche Füllgewicht 5,08 kg. Es ist anzunehmen, dass dieser Durchschnitt bei einer anderen Stichprobe ein leicht abweichendes Ergebnis geliefert hätte. Wie weit kann der berechnete Schätzwert für das Füllgewicht vom tatsächlichen Wert abweichen? Wenn die Standardabweichung aus irgend- einem Grund exakt bekannt ist, lässt sich das berechnen. Wir nehmen zu diesem Zweck an, die Standardabweichung wäre 0,1 kg und berechnen ein Konfidenzintervall, in dem der tatsächliche Mittelwert μ mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% liegt. Die Zufallsvariable X gibt das Füllgewicht einer Obststeige an und ist normalverteilt mit dem unbekannten Erwartungswert μ und der bekannten Standardabweichung σ = 0,1 kg. Das Stich- probenmittel _ X ist dann ebenfalls normalverteilt. Da n = 10 ist, beträgt die Standardabweichung des Stichprobenmittels σ = 0,1 _ 9 _ 9 ≈ 0,0333. Standardisieren von _ X liefert die Zufallsvariable Z mit Z = _ X – μ _ 0,0333 . Ein Intervall, in dem Z mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 ® iegt, ist zum Beispiel das Intervall [u 0,05 ; u 0,95 ], das von den beiden Fraktilen u 0,05 = ‒1,645 = ‒u 0,95 aufgespannt wird. ggb r2dn7f x f(x) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 - 4 4 3 2 1 u 0,05 u 0,95 - 3 - 2 -1 p 1 = 0,05 p 2 = 0,05 p = 0,90 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv