Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

107 3.1 Stichproben und Schätzungen 434 Unter 500 Befragten haben sich 73 für eine Abschaffung der Semesterferien ausgesprochen. Schätze den Anteil der Feriengegner in der Gesamtbevölkerung. 435 Eine Ladung Bananen wird geprüft. Dabei werden in einer Stichprobe von 115 Bananen 15 schlechte gefunden. Schätze den Anteil der schlechten Bananen in der gesamten Ladung. 436 Wir nehmen an, dass 24% der Wählerinnen und Wähler bei den nächsten Nationalratswahlen die Partei X wählen werden. Ein Meinungsforschungsinstitut befragt 200 zufällig ausgewählte Wahl- berechtigte. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil an Wählerinnen und Wählern der Partei X durch diese Stichprobe auf einen Prozentpunkt genau vorhergesagt werden kann. Der Anteil der Wählerinnen und Wähler der Partei X ist p = 0,24 und die Stichprobengröße ist n = 200. Somit ist ˆ P normalverteilt mit μ = 0,24 und σ = 9 ____ 0,24·0,76 __ 200 = 0,0302. Wenn der Anteil der Wählerinnen und Wähler der Partei X durch die Stichprobe auf einen Pro- zentpunkt genau vorhergesagt werden soll, dann muss deren Anteil in der Stichprobe zwischen 23% und 25% liegen. Durch Standardisieren berechnen wir die Wahrscheinlichkeit P(0,23 ª ˆ P ª 0,25) = P 2 0,23 – 0,24 __ 0,0302 ª Z ª 0,25 – 0,24 __ 0,0302 3 = Φ (0,33) – Φ (‒ 0,33) = = 0,6293 – 0,3707 = 0,2586. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis auf 1% genau vorhergesagt wird, beträgt nur ca. 26%. 437 17% Prozent der Bevölkerung eines Landes können ein Musikinstrument spielen. Ein Meinungs- forschungsinstitut befragt 500 zufällig ausgewählte Personen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass durch so eine Befragung der Anteil der Bevölkerung dieses Landes, die ein Musikinstrument spielen können, auf einen Prozentpunkt genau bestimmt wird. 438 In einer Großstadt haben sich bei einer Regionalwahl 28% der Wahlberechtigten für die Partei A entschieden. Bei einer Nachwahlbefragung wird das Stimmverhalten von 200 Personen abge- fragt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Anteil der Wählerinnen und Wähler von Partei A unter den Befragten um weniger als 3% von den exakten 28% unterscheidet. 439 40% der Bevölkerung haben vor, ein aktuelles Volksbegehren zu unterschreiben. Da den Politike- rinnen und Politikern diese Zahl noch nicht bekannt ist, beauftragen sie drei Meinungsfor- schungsinstitute den Anteil zu erheben. Institut A befragt 300, Institut B 400 und Institut C 500 zufällig ausgewählte Personen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten mit denen die Institute jeweils den exakten Anteil auf ± 2% genau treffen. 440 Durch eine Meinungsumfrage mit einer Stichprobe von n Wahlberechtigten soll das Ergebnis einer Wahl vorausgesagt werden. a. Zeige, dass die Zahl p·(1 – p) nicht größer als 1 _ 4 werden kann. b. Argumentiere mithilfe des Resultats aus Aufgabe a. , warum die Standardabweichung der Ver- teilung von ˆ P nicht größer als σ = 1 _ 2 9 _ n sein kann. c. Berechne, wie groß der Umfang n einer Stichprobe sein muss, damit σ sicher unter 0,01 ® iegt. 441 Meinungsumfragen werden oft in diversen Tageszeitungen graphisch präsentiert, zum Beispiel im Rahmen der Sonntagsfrage. Recherchiert Ergebnisse der letzten Sonntagsfragen. Wie groß ist die Stichprobe? Kann daraus auf den politischen Willen aller Österreicherinnen und Österreicher geschlossen werden? Diskutiert das Thema kritisch und fasst eure Ergebnisse und Meinungen in einer kurzen Präsentation zusammen. A, B A, B ggb/xls/mcd v76z53 einen Anteil schätzen A, B A, B A, B A, B B, D C, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv