Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

105 3.1 Stichproben und Schätzungen Schätzung von Erwartungswert und Varianz einer normalverteilten Zufallsvariablen In praktischen statistischen Problemstellungen tritt meist folgende Grundsituation auf: Es kann vorausgesetzt werden, welchen Verteilungstyp das beobachtete Merkmal hat, aber der (oder die) Parameter der Verteilung sind noch unbekannt. Das Schätzen besteht nun darin, mit vorgefertigten Formeln, sogenannten Schätzfunktionen , Näherungswerte für die unbekannten Parameter der Verteilung zu berechnen. Die Schätzfunktionen für den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 einer normalverteilten Zufallsvariablen (bzw. der Grundgesamtheit) sind das Stichprobenmittel und die Stichproben- varianz: μ ≈ _ X = 1 _ n · ; i = 1 n X i und σ 2 ≈ S 2 = 1 _ n – 1 · ; i = 1 n (X i – _ X) 2 Dabei bezeichnet (X 1 , X 2 , …, X n ) eine Stichprobe vom Umfang n. Für eine konkrete Stichprobe liefern die obige Formeln natürlich nicht exakt den Erwartungswert und die Varianz der Grundgesamtheit. Der Schätzwert hängt ja von der zufälligen Stichprobe ab. Fasst man aber die Ziehung einer Stichprobe als Zufallsexperiment auf und das Stichprobenmit- tel als Zufallsvariable _ X, so ist der Erwartungswert E( _ X) = μ . Ebenso ist E(S 2 ) = σ 2 . Solche Schätz- funktionen nennt man erwartungstreu . Beim Schätzen von Erwartungswert und Varianz einer Normalverteilung sind _ X bzw. S 2 erwar- tungstreue Schätzfunktionen für μ bzw. σ 2 . Das heißt E( _ X) = μ und E(S 2 ) = σ 2 . Achtung Über die Genauigkeit dieser Schätzungen aufgrund einer einzigen Stichprobe lässt sich zu die- sem Zeitpunkt noch nichts sagen. Darauf gehen wir erst im nächsten Abschnitt ein. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schätzungen umso zuverlässiger sind, je größer die betrachtete Stichprobe ist (also je größer n ist). 428 Ein Händler erhält eine Lieferung Marillen, die jeweils in Obststeigen verpackt sind. Er nimmt zufällig 10 Obststeigen heraus und wiegt diese ab. Messergebnisse in kg: 5,23 5,14 4,98 5,07 5,25 4,86 5,02 5,04 5,09 Berechne die erwartungstreuen Schätzwerte für den Erwartungswert und die Standardabwei- chung des Füllgewichts der gesamten Lieferung, wenn man davon ausgeht, dass das Füllgewicht normalverteilt ist. Wir berechnen das Stichprobenmittel und die Stichprobenvarianz: μ ≈ _ x = 1 _ 9 · ; i = 1 9 x i = 1 _ 9 ·(5,23 + 5,14 + … + 5,04 + 5,09) = 5,08 σ 2 ≈ s 2 = 1 _ 9 – 1 · ; i = 1 9 (x i – _ x) 2 = = 1 _ 8 ·[(5,23 – 5,08) 2 + (5,14 – 5,08) 2 + … + (5,04 – 5,08) 2 + (5,09 – 5,08) 2 ] = 0,01483 σ = 9 ____ 0,01483 = 0,1218 Ein erwartungsteuer Schätzwert für den Erwartungswert ist 5,08 kg und für die Standardabwei- chung 0,1218 kg. Schätz- funktionen für den Erwartungswert und die Varianz erwartungs- treue Schätz- funktionen für den Erwartungswert und die Varianz ggb/xls/mcd/tns 42e5i7 erwartungs- treue Schätz- werte für den Erwartungs- wert und die Standard- abweichung berechnen A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv