Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

103 3.1 Stichproben und Schätzungen Im einführenden Beispiel bedeutet das, dass wir dem tatsächlichen Erwartungswert des Körper- gewichts (= Mittelwert in der Grundgesamtheit) mit dem Stichprobenmittelwert umso näher kommen werden, je größer der Umfang der Stichprobe ist. Achtung Das Stichprobenmittel _ X und die Stichprobenvarianz S 2 dürfen nicht mit dem Erwartunswert μ und der Varianz σ 2 _ n der Verteilung des Stichprobenmittels verwechselt werden. Zwar ist in der Regel _ X ≈ μ , aber die Stichprobenvarianz entspricht annähernd der Varianz von X, also S 2 ≈ σ 2 und nicht S 2 ≈ σ 2 _ n . 415 Um die durchschnittliche Körpergröße einer Schulanfängerin bzw. eines Schulanfängers zu ermitteln, werden sieben Kinder zufällig ausgewählt und abgemessen. Körpergröße in cm: 121 119 124 120 127 118 125 Berechne das Stichprobenmittel und die Stichprobenvarianz. _ x = 1 _ 7 ·(121 + 119 + 124 + 120 + 127 + 118 + 125) = 122 s 2 = 1 _ 7 – 1 ·[(121 – 122) 2 + (119 – 122) 2 + (124 – 122) 2 + (120 – 122) 2 + (127 – 122) 2 + + (118 – 122) 2 + (125 – 122) 2 ] = 11,33 Das Stichprobenmittel beträgt 122 cm und die Stichprobenvarianz 11,33 cm. 416 Eine Stichprobe von Füllmengen von Saftpackungen ergab folgende Werte in m ® : 1 008 995 996 992 1 005 1 003 1 007 996 1 008 1 007 Berechne das Stichprobenmittel und die Stichprobenvarianz. 417 In einer Abfüllanlage für Limonadendosen wurde die tatsächliche Füllmenge an 100 Dosen unter- sucht und in einer Tabelle zusammengetragen, die in der Online-Ergänzung zu diesem Buch heruntergeladen werden kann. Bearbeite die Datei mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. a. Berechne Stichprobenmittelwert und Stichprobenvarianz mithilfe geeigneter Funktionen. b. Erstelle ein Säulendiagramm mit den relativen Häufigkeiten. c. Wähle 10-mal hintereinander 10 Füllwerte aus und berechne für diese Stichproben ebenfalls Mittelwerte und Varianzen. d. Stelle die Mittelwerte aus Aufgabe c. im Säulendiagramm von Aufgabe b. dar und analysiere die Darstellungen. 418 Die Länge von Schrauben ist normalverteilt mit Erwartungswert 40mm und Standardabweichung 0,8mm. Ermittle die Verteilung des Stichprobenmittels für eine Stichprobe vom Umfang 20. 419 Die Wuchshöhe einer Getreidesorte ist normalverteilt mit Erwartungswert 42 cm und Standard- abweichung 2 cm. Ermittle die Verteilung des Stichprobenmittels für eine Stichprobe vom Umfang 25. 420 Die Füllmenge von Butterpackungen ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von 250g und einer Standardabweichung von 2g. a. Gib die Verteilung des Mittelwerts von einer Stichprobe mit Umfang 5 an. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert einer Stichprobe vom Umfang 5 kleiner als 248g ist. 421 Die Köpergröße von Basketballspielern ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 190 cm und der Standardabweichung 5 cm. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert der Körper- größen von 10 zufällig ausgewählten Spielern größer als 195 cm ist. ggb/mcd/tns f9xf92 Stichproben- mittel und Stichproben- varianz berechnen B B Material 6s77ww A, B, C A, B A, B A, B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv