Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

102 Schließende Statistik Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz In unserem Einführungsbeispiel auf Seite 100 wollen wir einer Stichprobe, die aus 300 Messer- gebnissen für das Körpergewicht besteht, den arithmetischen Mittelwert dieser 300 Werte, bzw. das durchschnittliche Gewicht eines Fahrgastes zuordnen. Häufig möchte man die Information, die in einer Stichprobe enthalten ist, in einer einzigen Zahl komprimieren. Dieser Vorgang wird durch Stichprobenfunktionen ausgedrückt. Dabei wird der gesamten Stichprobe durch eine Funktion f: R n ¥ R eine Zahl zugeordnet. Ist (X 1 , X 2 , …, X n ) eine Stichprobe von X, so heißt _ X = 1 _ n ; i = 1 n X i das Stichprobenmittel und S 2 = 1 _ n – 1 ; i = 1 n 2 X i – _ X 3 2 die Stichprobenvarianz. Die Verteilung des Stichprobenmittels _ X, das selbst eine Zufallsvariable ist, hängt natürlich von der Verteilung von X ab. Im Spezialfall der Normalverteilung lässt sie sich eindeutig angeben: Ist X ~ N 2 μ ; σ 2 3 , so ist _ X ~ N 2 μ ; σ 2 _ n 3 . Das bedeutet: Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Stan- dardabweichung σ , so ist die Zufallsvariable, die man erhält wenn man jeweils den Mittelwert einer Stichprobe vom Umfang n betrachtet, ebenfalls normalverteilt mit demselben Erwartungs- wert μ und der Standardabweichung σ _ 9 _ n . Aber auch wenn die einzelnen Beobachtungsgrößen X i nicht normalverteilt sind, so folgt aus dem zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie: Bei hinreichend großen Stichproben (n > 25) ist _ X näherungsweise normalverteilt. _ X ~ N 2 μ ; σ 2 _ n 3 , wobei μ und σ 2 den Erwartungswert und die Varianz von X bezeichnen. Dass die Standardabweichung bzw. die Varianz bei der Mittelwertbildung kleiner wird, lässt sich dadurch veranschaulichen, dass sich die natürlich vorhandenen Schwankungen der Zufallsvaria- blen X bei der Mittelwertbildung untereinander ausgleichen. Die Bedeutung dieser Aussage ist, dass bei wachsendem Stichprobenumfang das Stichproben- mittel _ X wegen der kleiner werdenden Varianz σ 2 _ n immer genauer dem Erwartungswert μ ent- spricht. Stichproben- mittel Stichproben- varianz Stichproben- mittel einer normalverteil- ten Zufalls- variablen näherungs- weise Verteilung von Stichproben- mitteln x f x f x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv