Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

100 3.1 Stichproben und Schätzungen Ich lerne Stichprobenfunktionen wie das Stichprobenmittel und die Varianz kennen und diese zu berechnen. Ich lerne für normalverteilte Merkmale Erwartungswert und Varianz aus einer Stichprobe zu schätzen. Ich lerne die Verteilung des Stichprobenmittels kennen und damit Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Ich lerne den relativen Anteil besonderer Elemente in einer Grundgesamtheit zu schätzen. Ich lerne die Capture-Recapture-Methode kennen und damit den Umfang einer nicht einfach überschaubaren Gesamtheit zu schätzen. Stichprobe – Grundgesamtheit Um Aufzüge sicher zu betreiben, ist es notwendig zu wissen, welchen Belastungen sie maximal ausgesetzt sind. Aus diesem Grund interessiert man sich für das durchschnittliche Körpergewicht der Fahrgäste und dessen Standardabweichung. Natürlich ist es unmöglich alle Fahrgäste im Vorhinein abzuwiegen, daher beschränkt man sich auf eine zufällig ausgewählte Stichprobe von 300 Personen. Ist es möglich aus den Daten der Stichprobe auf Mittelwert und Standardabwei- chung der Körpergewichte aller möglichen Fahrgäste zu schließen? Das ist nur möglich, wenn man Methoden der schließenden Statistik anwendet. Die grundlegende Problemstellung der schließenden Statistik ist der Schluss von Beobachtun- gen auf die zugrundeliegende Gesamtheit bzw. die Verteilung der beobachteten Zufallsvariablen. Beispiele:  Überprüfung der korrekten Funktion von „Zufallswerkzeugen“ (Würfeln, Lottomaschinen …)  Auswertung von Meinungsumfragen  Qualitätskontrolle in Produktionsprozessen  Feststellung naturwissenschaftlicher Gesetzmäßigkeiten Für die statistische Behandlung solchen Frage müssen zunächst drei Begriffe eingeführt werden. Die Grundgesamtheit ist die Menge aller Elemente, über die bei einer statistischen Erhebung etwas ausgesagt werden soll. (In unserem Beispiel sind das alle möglichen Fahrgäste, die jemals diesen Aufzug benutzen werden.) Das beobachtete Merkmal ist eine Eigenschaft dieser Elemente, die bei der aktuellen Untersu- chung von Interesse ist. (In unserem Beispiel ist das das Körpergewicht.) Eine Stichprobe ist die zufällige Auswahl einer Teilmenge der Grundgesamtheit. Bei den Elemen- ten der Stichprobe wird die Ausprägung des untersuchten Merkmals festgestellt. Diese so erhal- tenen Werte nennen wir Daten . (In unserem Bespiel sind das die 300 Wiegeergebnisse.) Wir stellen bei unserem Beispiel mit dem Körpergewicht fest, dass keine konkrete Grundgesamt- heit vorhanden ist. Die 300 ermittelten Körpergewichte sind eine Stichprobe aus der hypotheti- schen Grundgesamtheit aller Personen, die jemals diesen Aufzug benutzen werden. In so einem Fall fasst man das betrachtete Merkmal als Zufallsvariable auf und fragt nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsvariablen. Grund- gesamtheit Merkmal Stichprobe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv