Mathematik HTL 3, Schulbuch

98 Differentialrechnung Beispiele: Die zweite Ableitung der Potenzfunktion f mit f(x) = x 3 ist f’’ mit f’’(x) = 6x. Daher ist f auf der Halbgeraden (‒ • ; 0) konkav und auf der Halbgeraden (0; • ) konvex. Die Zahl 0 ist eine Wendestelle, die Wendetangente ist die xAchse. Weil alle Funktionswerte der Exponentialfunktion exp: R ¥ R , x ¦ e x positiv sind und für alle reellen Zahlen x exp’’(x) = e x = exp(x) ist, ist die Exponentialfunktion auf ganz R konvex und hat daher keine Wendestelle. Wegen ln’’(t) = ‒   1 _  t 2 für alle t * R + ist die Logarithmusfunktion auf der Halbgeraden (0; • ) konkav und hat somit keine Wendestelle. Wegen sin’’(x) = ‒ sin(x) für alle x * R ist die Sinusfunktion auf Intervallen, auf denen sie keine negativen Funktionswerte hat, konkav und auf Intervallen, auf welchen sie keine positiven Funktionswerte hat, konvex. Die Nullstellen der Sinusfunktion sind Wendestellen. Die Wendetangente in 0 ist die Gerade durch (0 1 0) und (1 1 1). 411 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion in einer Umgebung eines vorgegebenen Punktes (a 1 f(a)), sowie die Tangente von f an der Stelle a. Lies in der Zeichnung a, f(a) und f’(a) ab. Entscheide, ob f’’(a) > 0 oder f’’(a) < 0 ist. Der eingezeichnete Punkt hat die Koordinaten (2 1 3). Daher ist a = 2 und f(a) = 3. Die Steigung der Tangente ermittelt man mit einem Steigungsdreieck: Geht man vom eingezeichneten Punkt 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben, so landet man wieder in einem Punkt der Tangente. Daher ist die Steigung der Tangente   2 _ 3 und somit f’(2) =   2 _ 3 . Der abgebildete Ausschnitt des Graphen der Funktion ist konvex, daher ist f’’(2) > 0. 412 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion in einer Umgebung eines vorgegebenen Punktes (a 1 f(a)), sowie die Tangente von f an der Stelle a. Lies in der Zeichnung a, f(a) und f’(a) ab. Entscheide, ob f’’(a) > 0 oder f’’(a) < 0 ist. a. b. c. d. x y 0 - 3 - 2 -1 2 1 3 - 2 -1 - 3 1 2 3 (0 1 0) x y 0 - 3 - 2 -1 2 1 3 - 2 -1 - 3 1 2 3 exp ln x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 6 - 2 -1 1 2 sin(x) C bestimmen, ob eine Funktion konvex oder konkav ist x y 0 4 8 4 8 C x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv