Mathematik HTL 3, Schulbuch

97 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung Wendestellen, konkave und konvexe Funktionen Im Vorjahr haben wir definiert, wann eine Funktion auf einem Intervall konvex oder konkav ist. Die Funktion f heißt konvex auf D , wenn für a, b * D mit a < b und für alle Zahlen x mit a ª x ª b die Punkte (x 1 f(x)) des Graphen von f unterhalb oder auf der Strecke zwischen (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)) liegen. Die Funktion f heißt konkav auf D , wenn für a, b * D mit a < b und für alle Zahlen x mit a ª x ª b die Punkte (x 1 f(x)) des Graphen von f oberhalb oder auf der Strecke zwischen (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)) liegen. Quadratische Funktionen sind konvex, wenn ihr Leitkoeffizient positiv ist, und konkav, wenn ihr Leitkoeffizient negativ ist. Das übertragen wir auf zweimal differenzierbare Funktionen: Eine zweimal differenzierbare Funktion ist über einem Intervall genau dann konvex , wenn ihre quadratische Näherung q mit q(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) + ​  1 _ 2 ​f’’(a)·(x – a) 2 an jeder Stelle a des Intervalls diese Eigenschaft hat, wenn also für alle Zahlen a in diesem Intervall f’’(a) º 0 ist. Eine zweimal differenzierbare Funktion ist über einem Intervall genau dann konkav , wenn für alle Zahlen a in diesem Intervall f’’(a) ª 0 ist. Wenn eine Funktion über dem Intervall [b; a] konvex und über dem Intervall [a; c] konkav ist (für b < a < c), oder über dem Intervall [b; a] konkav und über dem Intervall [a; c] konvex ist, dann heißt a eine Wendestelle dieser Funktion. Wenn a eine Wendestelle der Funktion f ist, dann ist f’’(a) º 0 und f’’(a) ª 0, also muss f’’(a) = 0 sein. Ist a eine Wendestelle einer differenzierbaren Funktion f, dann nennt man die Tangente an den Graphen von f im Punkt (a 1 f(a)) eine Wendetangente . Die Bezeichnungen Wendestelle und Wendetangente drücken aus, dass der Graph einer Funktion über einer Wendestelle „auf die andere Seite der Wendetangente” wechselt. Achtung Ist f eine zweimal differenzierbare Funktion und ist f’’(a) = 0 für eine Zahl a im Definitionsbereich von f, dann muss a keine Wendestelle sein! Zum Beispiel ist die zweite Ableitung der Potenzfunk­ tion f mit f(x) = x 4 an der Stelle 0 gleich 0, aber f ist sowohl auf dem Intervall [‒1; 0] als auch auf dem Intervall [0; 1] konvex. konvex konkav x y 0 (a 1 f(a)) a b (b 1 f(b)) x y 0 (a 1 f(a)) a b (b 1 f(b)) zweite Ableitung einer konvexen Funktion zweite Ableitung einer konkaven Funktion Wendestelle x y a f(a) W f(x) Wendetangente Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv