Mathematik HTL 3, Schulbuch

96 Differentialrechnung 404 Gib die lokalen Extremstellen der Funktion im Intervall [0; 2 π ] an. a. a mit a(t) = 2·sin 2    t _ 3   3 c. c mit c(t) = sin(t) + cos(t) e. g mit g(t) = sin 2 2    t _ 4   3 b. b mit b(t) =   1 _ 2 ·cos 2    t _ 2   3 d. d mit d(t) = sin(t) – cos(t) f. f mit f(t) = cos 2 2    t _ 2   3 405 Gib die lokalen Extremstellen der rationalen Funktion r an. Lege zuerst ihren (möglichst großen) Definitionsbereich fest. a. r(x) = x +   1 _ x c. r(x) =   1 _  2x + x e. r(x) =   x 2 _  x – 2  b. r(x) = ‒ x –   2 _ x d. r(x) =   x 2 _  1 + x f. r(x) =   x 3 _  1 + x 406 Zeige durch Nachrechnen, dass die beiden Funktionen f und g ihre lokalen Extrema an den gleichen Stellen besitzen. a. f(x) = 0,5x 3 – 6x + 9 b. f(x) = x 2 – 2x + 3 c. f(x) = x 3 – x + 1 h(x) = 9 _______ 0,5x 3 – 6x + 9 g(x) = ln(x 2 – 2x + 3) g(x) = e x 3 – x + 1 407 Die Verbreitung einer neuen App für Smartphones t Tage nach dem Erscheinen kann annähernd durch f(t) =   2500000 __  1 + 1000·e ‒0,08t beschrieben werden. a. Berechne die Ableitung der Funktion f. b. Begründe: Die Ableitung f’(t) von f an der Stelle t gibt annähernd die Anzahl der Downloads dieser App am Tag t an. c. Dokumentiere mithilfe einer Tabelle, wie oft diese App am 20., 40., 60., … 200. Tag herunter geladen wird. 408 Die gesamte Anzahl an Downloads einer neuen App für Smartphones, t Tage nach dem Erscheinen, wird annähernd durch AD(t) =   4500000 __  1 + 17500·e ‒0,1t beschrieben. Berechne mithilfe der Resultate aus Aufgabe 407 b. a. Am wievielten Tag nach dem Erscheinen ist die Anzahl an Downloads am größten? b. Was ist die maximale Anzahl an Downloads an diesem Tag? 409 Das Drahtseil zwischen den beiden Hauptpfeilern der Golden Gate Bridge bei San Francisco kann durch den Graphen einer sogenannten Kettenlinie mathematisch beschrieben werden. Diese ist im Fall der Golden Gate Bridge die Funktion k mit k(x) =   1539 _ 2  2  e   x _  1539  + e ‒  x _  1539    3 – 1 444, wobei der Koordinatenursprung genau in der Mitte der beiden Hauptpfeiler an der Wasseroberfläche angenommen wurde und x die Entfernung vom Koordinatenursprung in Meter gemessen ist. Die Rechte Säule befindet sich in einer Entfernung von 640m vom Koordinatenursprung. a. Berechne, in welcher Höhe das Seil an dieser Säule montiert ist. b. Ermittle, wie viel Meter über dem Wasserspiegel der tiefste Punkt dieses Seiles liegt. c. Berechne die Steigung dieses Seiles am Aufhängepunkt auf der Säule. Gib die Steigung in Prozent und den zugehörigen Steigungswinkel in Grad an. 410 Die Auslenkung eines FederMasseSchwingers kann für jeden Zeitpunkt t º 0 durch die Funktion a mit a(t) = sin(2t – 1)·e ‒  t _  2 beschrieben werden. a. Zeichne den Graphen der Funktion a. b. Bestimme, nach welcher Zeit t die Auslenkung am größten ist. c. Ermittle für jeden Zeitpunkt t die Geschwindigkeit v. B B D B, C, D B A, B A, B Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv