Mathematik HTL 3, Schulbuch

95 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung 396 Berechne alle lokalen Extremstellen der Polynomfunktion f mit f(x) = x 3 – ​  3 _ 2 ​x 2 + 4. Die Ableitung von f ist f’ mit f’(x) =3x 2 – 3x = 3x(x – 1). Die Nullstellen von f’ sind 0 und 1. Daher können nur 0 und 1 Extremstellen von f sein. Die zweite Ableitung f’’ ist f’’(x) = 6x – 3, also ist f’’(0) = ‒ 3 < 0 und f’’(1) = 3 > 0. Daher ist 0 eine Maximumstelle und 1 eine Minimumstelle von f. 397 Bestimme die lokalen Extremstellen der Polynomfunktion f. a. f(x) = 3x 2 – 5x + 1 c. f(x) = x 3 – 2x 2 e. f(x) = x 4 – 2x 2 + 1 b. f(x) = ‒ ​  1 _ 2 ​x 2 + ​  1 _ 4 ​x + ​  1 _ 2 ​ d. f(x) = 2x 3 – 6x 2 – 5x f. f(x) = x 4 – 5x 2 + 6 398 Finde alle lokalen Minima der Polynomfunktion g. a. g(x) = x 2 – 4x + 3 c. g(x) = ‒ x 3 + 2x 2 ‒ x + 0,5 e. g(x) = ​  1 _ 4 ​x 3 – 2x 2 + 2x – 1 b. g(x) = ‒ x 2 – 5x + 1 d. g(x) = x 3 + 4x 2 + x f. g(x) = ‒ x 4 + x 3 + 2x 2 – 4 399 Ermittle alle lokalen Maxima der Polynomfunktion f. a. f(x) = ‒ x 2 + 3x – 5 c. f(x) = x 3 – x 2 – 5x – 9 e. f(x) = ‒ ​  1 _ 2 ​x 3 + 5x 2 – 2x + 4 b. f(x) = x 2 + 2x – 1 d. f(x) = ‒ 2x 3 – 3x 2 + ​  1 _ 2 ​x + 2 f. f(x) = x 4 + 3x 3 ‒ x 2 + 3 400 Ermittle den Scheitel der quadratischen Funktion g auf zwei Arten: durch quadratisches Ergänzen und mithilfe der Differentialrechnung. a. g(x) = x 2 – 5x + 7 c. g(x) = ‒ 3x 2 – 6x – 2 e. g(x) = ​  1 _ 2 ​x 2 + 2x + ​  1 _ 2 ​ b. g(x) = ​  1 _ 4 ​x 2 – 3x – 2 d. g(x) = ‒ 5x 2 + 2x – 4 f. g(x) = ‒ 6x 2 – 3x + 15 401 Überprüfe, für welche der angegebenen Zahlenpaare die ersten Komponenten lokale Extrem­ stellen und die zweiten die entsprechenden Extremwerte der gegebenen Polynomfunktion f sind. Entscheide, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. a. f(x) = x 3 – 2x 2 – 4x – 1 A  ​ 2  ‒ ​ ​  ​  2 _  3 ​  1  ​0,48  3 ​ B  (2 1 1) C  (2 1 ‒ 9) D  ​ 2  ‒ ​ ​  ​  2 _  3 ​  1  ​1  3 ​ b. f(x) = ‒ 2x 3 – 6x 2 – 6x + 2 A  (‒ 3 1 20) B  (4 1 2) C  (4 1 0) D  (‒ 3 1 4) c. f(x) = x 4 + 2x 2 + 6 A  (1 1 9) B  (0 1 6) C  (‒1 1 9) D  (6 1 0) d. f(x) = x 4 + 3x 3 – 2x 2 A  (2 1 0) B  (‒1 1 6) C  (‒ 4 1 0) D  (0 1 0) 402 Bestimme alle lokalen Extremstellen der Polynomfunktion g. Überprüfe, ob es sich dabei auch um globale Extremstellen handelt. a. g(x) = x 2 – 4x + 8 c. g(x) = x 3 – 3x 2 – 6x + 8 e. g(x) = ‒ x 4 + 19x 2 + 6x – 72 b. g(x) = ‒ x 2 + 6x – 8 d. g(x) = x 3 – 3x 2 + 4 f. g(x) = x 4 – 6x 3 + 4x 2 + 6x – 5 403 Ermittle die lokalen Extremstellen der Funktion. a. a mit a(z) = z·e z c. c mit c(x) = ​  ln(x) _ x  ​ e. g mit g(y) = y·3 y + 1 b. b mit b(z) = (1 + z)·e z d. d mit d(x) = x·ln(x) f. f mit f(y) = 2 ‒y + y B  ggb/mcd/tns 3f7x6q lokale Extremstellen berechnen B B B B B, C B, D B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv