Mathematik HTL 3, Schulbuch

94 Differentialrechnung 395 Ein Fallschirmspringer im freien Fall (also bevor sich der Fallschirm öffnet) legt innerhalb von t Sekunden den Weg s(t) = ​  1 _  μ ​ ·ln(cosh(​ 9 ___ μ ·g​·t))m zurück, wobei μ = 0,003 der Reibungskoeffizient ist und g = 9,81m/s 2 die Fallbeschleunigung. Für alle reellen Zahlen z ist cosh(z) = ​  1 _ 2 ​(e z + e ‒z ). a. Berechne mithilfe der zweiten Ableitung von s die Beschleunigung des Springers in m/s 2 I. nach 0 Sekunden und  II. nach 20 Sekunden. b. Da sich nach ca. 20 Sekunden die Erdanziehungskraft und die Reibungskraft aufgrund des Luftwiderstandes gegenseitig aufheben, erreicht der Springer zu diesem Zeitpunkt seine Maximalgeschwindigkeit, die in weiterer Folge konstant bleibt und erst durch das Öffnen des Fallschirms wieder gebremst wird. Berechne diese Geschwindigkeit mithilfe der Ableitung der Funktion s an der Stelle 20 und gib sie sowohl in m/s als auch in km/h an. Extremwerte und zweite Ableitung Erinnern wir uns an das, was wir im Vorjahr gelernt haben: Jede quadratische Funktion f mit f(x) = c 2  x 2 + c 1  x + c 0 (dabei sind c 2  , c 1  , c 0 reelle Zahlen und c 2 ≠ 0) kann durch quadratisches Ergänzen in Scheitelform f(x) = r(x – s) 2 + t umgeschrieben werden (dabei sind r, s, t reelle Zahlen und r ≠ 0). Der Graph dieser quadratischen Funktion ist eine Parabel mit Scheitel (s 1 t). Eine quadratische Funktion hat genau eine Extremstelle und zwar s. Der entsprechende Extremwert ist t. Wenn r positiv ist, dann ist s eine Minimumstelle der quadratischen Funktion und wenn r negativ ist, eine Maximumstelle. Wenn eine zweimal differenzierbare Funktion f in a ein lokales Extremum hat, dann müssen dort auch die lineare und die quadratische Näherung t und q von f an der Stelle a, also die Funktionen h(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) und q(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) + ​  1 _ 2 ​·f’’(a)·(x – a) 2 ein lokales Extremum haben. Das bedeutet, dass die lineare Näherung h eine konstante Funktion ist, also f’(a) = 0 ist. Die Tangente von f an der Stelle a ist dann parallel zur x-Achse. Wenn f’’(a) nicht 0 ist, hat die quadratische Näherung q dann bereits Scheitelform: f(x) = f(a) + 0·(x – a) + ​  1 _ 2 ​·f’’(a)·(x – a) 2 und ihr Scheitel ist (a 1 f(a)). Das Extremum ist daher ein Maximum, wenn f’’(a) < 0 ist, und ein Minimum, wenn f’’(a) > 0 ist. Wenn a eine lokale Minimumstelle oder Maximumstelle einer mindestens zweimal differenzier­ baren Funktion f ist, dann muss f’(a) = 0 sein. Wenn f’’(a) < 0 ist, dann ist a eine Maximumstelle . Wenn f’’(a) > 0 ist, dann ist a eine Minimumstelle . Man sagt: Die Bedingung f’(a) = 0 ist eine notwendige Bedingung für eine Maximumstelle und die Bedingungen f’(a) = 0 sowie f’’(a) < 0 sind dafür hinreichende Bedingungen . A, B x y 0 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 (s 1 t) x y 0 -1 1 2 3 4 5 - 3 - 4 - 2 -1 1 2 (s 1 t) zweite Ableitung und lokale Extremstellen Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv