Mathematik HTL 3, Schulbuch

93 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung Beschleunigung Wenn eine Funktion v jeder Zahl t die Momentangeschwindigkeit eines Fahrzeugs, Teilchens … zur Zeit t zuordnet, dann nennt man die Ableitung ​ ˙ v​ (t) = v’(t) von v an der Stelle t die Beschleunigung zur Zeit t, diese Zahl ist also die momentane Änderungsrate der Geschwindig­ keit zur Zeit t. Wird für den Weg die Einheit m (Meter) und für die Zeit die Einheit s (Sekunde) gewählt, dann ist m/s (Meter pro Sekunde) die Einheit der Geschwindigkeit und m/s 2 (Meter pro Sekunde zum Quadrat) die Einheit der Beschleunigung. Tipp Häufig wird die Geschwindigkeit mit v (für velocitas, das lateinische Wort für Geschwindigkeit) und die Beschleunigung ​ ˙ v​mit a (für acceleratio, das lateinische Wort für Beschleunigung) bezeichnet. 391 Ein PKW hat t Sekunden nach dem Start s(t) = 1,9·t 2 Meter zurückgelegt. a. Zeichne den Graphen der Funktion s. b. Berechne die Funktion v, die jeder positiven Zahl t die Momentangeschwindigkeit des PKW t Sekunden nach dem Start in m/s zuordnet. c. Ermittle die Momentangeschwindigkeit 5 Sekunden nach dem Start. d. Zeichne den Graphen der Funktion v. e. Finde eine Funktion a, die jeder positiven Zahl t die Beschleunigung in m/s 2 des PKW t Sekunden nach dem Start zuordnet. f. Berechne die Beschleunigung des PKW 3 Sekunden nach dem Start. g. Zeichne den Graphen der Funktion a. 392 Die Fahrt eines PKW wird durch die Funktion s: R ¥ R , t ¦ 1,5t 2 + 2,5t beschrieben, die jeder Zahl t den Weg in Meter, den der PKW nach t Sekunden zurückgelegt hat, zuordnet. a. Zeichne den Graphen der Funktion s. b. Ermittle eine Funktion v, die jedem Zeitpunkt t nach dem Start die Momentangeschwindigkeit des PKW in m/s zuordnet. c. Zeichne den Graphen der Funktion v. d. Finde eine Funktion a, die jedem Zeitpunkt t nach dem Start die Beschleunigung des PKW in m/s 2 zuordnet. e. Zeichne den Graphen der Funktion a. 393 Ein Wasserskifahrer wird hinter einem Boot hergezogen und wird dabei immer schneller. 3 s nach dem Start hat er einen Weg von 9,75m zurückgelegt, nach weiteren 3 s schon 33m. a. Wähle eine geeignete Funktion s, die den Zusammenhang zwischen Zeit und Weg beschreibt. b. Berechne, wie schnell der Wasserskifahrer nach 5s ist. Gib die Geschwindigkeit in km/h an. c. Ermittle, welche Beschleunigung der Wasserskifahrer nach 4s hat und gib sie in m/s 2 an. 394 Ein Basejumper springt den 979m hohen Salto Ángel hinab und wird dabei innerhalb der ersten 10s immer schneller, bevor er die Höchstgeschwindigkeit von 198km/h erreicht hat. Die Funktion s mit s(t) = 2, 75t 2 gibt in den ersten 10s des Sprungs den zurückgelegten Weg des Jumpers in m an. a. Ermittle, die Geschwindigkeit in km/h des Basejumpers 2 s nach dem Absprung. b. Bestimme, welcher Beschleunigung der Basejumper 5 s nach dem Absprung unterliegt. c. Zeichne den Graphen einer Funktion, die den zurückgelegten Weg des Basejumpers während des gesamten freien Falls beschreibt, wenn dieser 400m über Grund endet. d. Gib an, welcher Beschleunigung in m/s 2 der Basejumper unterliegt, wenn er den Fallschirm 400m über dem Boden öffnet. Begründe mithilfe des Graphen einer geeigneten Funktion. Beschleunigung A, B A, B A, B A, B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv