Mathematik HTL 3, Schulbuch

92 Differentialrechnung 385 Berechne die quadratische Näherung von f an der Stelle z . a. f mit f(t) = cos 2    t _ 2   3 ; z = 0 c. f mit f(w) = e 2w ; z = 1 e. f mit f(x) =   1 _  x + 1 ; z = 0 b. f mit f(t) = sin(3t); z = 0 d. f mit f(w) = e   2 _ w ; z = ‒1 f. f mit f(x) =   1 _  x 2 + 1 ; z = 1 386 Berechne die quadratische Näherung der Funktion mithilfe eines CAS in einer Umgebung von x 0 . Finde dafür geeignete Befehle und dokumentiere die Vorgehensweise. a. f mit f(x) = sin(2x); x 0 = 0 d. f mit f(x) =   1 _ x ·e x 2 ; x 0 = 1 b. f mit f(x) = cos 2    x _ 3   3 ; x 0 =   π _ 3 e. f mit f(x) = e   1 _ x ·sin(x 2 ); x 0 = 1 c. f mit f(x) = e 3x ; x 0 = ‒ 2 f. f mit f(x) = sin 2    1 _  x + π   3 ·cos(x 2 ); x 0 = 0 387 Bestimme die quadratische Näherung der Polynomfunktion p an der Stelle 0. Stelle sowohl den Graphen der Polynomfunktion als auch dieser quadratischen Näherung in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. a. p(x) = x 3 – 0,5x 2 + x + 1 b. p(x) = 0,1x 4 – x 2 + 2 c. p(x) = 0,1x 5 – 0,1x 3 + 2x 2 – 0,5x – 1 388 Berechne die quadratischen Näherungen der Funktion f an ihren lokalen Extremstellen und zeichne den Graphen von f, sowie die Graphen der quadratischen Näherungen. a. f mit f(z) =   1 _  15 (z 3 – 3z 2 – 24z + 2) b. f mit f(t) =   5 __  0, 25t 2 + 1 c. f mit f(z) =   1 _ 4 ·(‒ z 2 + 4z – 1)e z 389 Überlege mit zwei oder drei Mitschülerinnen oder Mitschülern, wie ein Taschenrechner oder ein CAS Funktionswerte der Sinusfunktion oder der Cosinusfunktion berechnen könnte. Recherchiert dann im Internet und dokumentiert die Vorgehensweise. Ableitung von Formeln Eine Formel wie zum Beispiel O = 2r 2 π + 2r π h können wir auf mehrere Weisen als Funktion auffassen. Zum Beispiel als Funktion, die jeder Zahl r die Zahl 2r 2 π + 2r π h zuordnet. Dabei betrachten wir h als fest gewählte Zahl. Wir könnten sie aber auch als Funktion, die jeder Zahl h die Zahl 2r 2 π + 2r π h zuordnet, wobei r eine fest gewählte Zahl ist, auffassen. Zur Unterscheidung schreiben wir dann für die Ableitung der ersten Funktion   dO _  dr (Sprechweise: „Ableitung von O nach r” oder „deO nach der”) und für die zweite Ableitung dieser Funktion   d 2 O _  dr 2 (Sprechweise: „dzweiO nach drhochzwei”). Für die Ableitung der zweiten Funktion schreiben wir   dO _ dh (Sprechweise: „Ableitung von O nach h” oder ”dO nach dh”). Häufig wird statt f’, f’’, f (n) für die erste, zweite, nte Ableitung einer Funktion f auch   df _ dx  ,   d 2 f _ dx 2 ,   d n f _  dx n geschrieben und statt f’(a), f’’(a), f (n) (a) für deren Funktionswerte an der Stelle a 2    df _ dx   3 x = a , 2    d 2 f _ dx 2   3 x = a , 2    d n f _  dx n   3 x = a . Wird mit t die Zeit bezeichnet, dann wird statt   df _ dt auch  ˙ fund statt   d 2 f _ dt  auch ¨ fgeschrieben. 390 Berechne. a. R =   U _ I  ;   d 2 R _  dI 2 = ? c. a =   v _ t ;   d 2 a _ dt 2 = ? e. v =   s 2 – s 1 _  t 2 – t 1 ;   d 2 v _ dt 2 2 = ? b. F = m·a;   d 2 F _ da 2 = ? d. O = 2r 2 π + 2r π h;   d 2 O _  dr 2 = ? f. G =   E·m __  2(m + 1) ;   d 2 G _ dm 2 = ? B B, C B B C Schreib- und Sprechweisen für Ableitungen B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv