Mathematik HTL 3, Schulbuch

91 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung 374 Ermittle die erste und die zweite Ableitung der Funktion an der Stelle x 0 . a. a mit a(x) = ​  1 _ 2 ​e x ; x 0 = 2 c. c mit c(x) = ln​ 2  ​  x _ 2 ​  3 ​; x 0 = 5 e. g mit g(x) = x·e x ; x 0 = 0,5 b. b mit b(x) = 2 2x ; x 0 = ‒1 d. d mit d(x) = 3lg(x); x 0 = 1 f. f mit f(x) = ​  ln(x) _ x  ​ ; x 0 = 3 375 Ermittle für die Aufgaben 373 und 374 die Ableitungen an den gegebenen Stellen mithilfe eines CAS. Vergleiche die Ergebnisse mit denen der händischen Rechnungen. Gibt es Unterschiede? Wenn ja, begründe wie diese zustandekommen. 376 Berechne die zweite Ableitung der Funktion. a. a mit a(x) = x 3 – 2x 2 + 7x – 1 c. c mit c(x) = x·sin(x) e. g mit g(x) = x 2 ·e x b. b mit b(x) = ‒ x 2 + 5x – 1 d. d mit d(x) = cos 3  (x) f. f mit f(x) = ln(x 2 + 2) 377 Bestimme die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion. Stelle dann eine Vermutung auf, was die nte Ableitung dieser Funktion ist. Überprüfe die Vermutung für n = 5. a. a mit a(x) = ​  1 _ x ​ b. b mit b(x) = ln(x) c. c mit c(x) = ​  1 _  x + a  ​ d. d mit d(x) = ​  1 _  ax ​ 378 Berechne die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion. Stelle dann eine Vermutung auf, was die nte Ableitung dieser Funktion ist. Überprüfe die Vermutung für n = 5. a. a mit a(x) = sin(x) b. b mit b(x) = cos(x) c. c mit c(x) = sin(3x) 379 Berechne die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion (a > 0). Stelle dann eine Vermutung auf, was die nte Ableitung dieser Funktion ist. Überprüfe die Vermutung für n = 5. a. a mit a(x) = e x b. b mit b(x) = e ax c. c mit c(x) = a x d. d mit d(x) = a 7x 380 Berechne die zweite Ableitung der Exponentialfunktion f: R ¥ R , x ¦ e x an der Stelle 0 und die quadratische Näherung von f an der Stelle 0. Kann man daraus etwas über die Zahl e = f(1) schließen? Für alle reellen Zahlen x ist f’(x) = e x = f(x) und f’’(x) = e x = f(x). Die quadratische Näherung von f an der Stelle 0 ist die quadratische Funktion q mit q(x) = e 0 + e’  0 ·x + ​  1 _ 2 ​·e’’  0 ·x 2 = 1 + x + ​  1 _ 2 ​x 2 . Die Zahl e = f(1) = e 1 ist daher ungefähr 1 + 1 + ​  1 _ 2 ​·1 = 2,5. (Die Eulersche Zahl e liegt zwischen 2,71 und 2,72. Der Fehler beträgt also nur ca. 8% von e.) 381 Berechne die erste und die zweite Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle 0. Bestimme dann die lineare und die quadratische Näherung der Sinusfunktion an der Stelle 0. Erstelle eine Tabelle für die Funktionswerte der drei Funktionen von 10 Zahlen zwischen ‒0,1 und 0,1. 382 Ermittle die zweite Ableitung der Cosinusfunktion an der Stelle ​  π _  4 ​und ihre quadratische Nähe­ rung an dieser Stelle. 383 Berechne die zweite Ableitung der Sinusfunktion und ihre quadratische Näherung an der Stelle ​  π _ 2 ​ . Leite daraus eine Abschätzung der Zahlen sin​ 2  ​  π _ 4 ​  3 ​und sin(1) ab. Vergleiche deine Ergebnisse mit den Ergebnissen eines Taschenrechners. 384 Ermittle für das Produkt der Exponentialfunktion und der Sinusfunktion die erste und die zweite Ableitung und finde die lineare sowie die quadratische Näherung dieser Funktion an der Stelle 0. Zeichne mithilfe eines CAS oder einer DGS die Graphen dieser drei Funktionen und vergleiche deren Funktionswerte im Intervall [‒0,5; 0,5]. Gib an, ab wann die Abweichung der Funktions­ werte der linearen bzw. der quadratischen Näherung größer als 10% vom Funktionswert, den ein Taschenrechner berechnet, ist. B B, C, D B B, D B, D B, D B, C die zweite Ableitung der Exponential­ funktion berechnen  ggb/mcd/tns 8am7wm A, B B B, C B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv